Bayes公式在决策中的应用
摘 要:利用两个案例,说明概率这门学科在决策中的作用.
关键词:概率 Bayes 定理(公式)
中图分类号:O211.1 文献标识码:A 文章编号:1009-1939(2006)05-0074-02
yh
在概率计算中,我们常常遇到这样的一类问
题,某事件的发生可能依赖于多种原因,对这样的事
件直接求规律往往是无能为力的,例如,某产品是由
几个厂家生产的,由于各个厂家生产的产品质量不
一样,这时我们从中任取一件产品是次品这个事件
就依赖于这个产品是哪个厂家的,也就是说该事件
的概率与总产品中各厂产品所占比例及每个厂的次
品率有关.对于这一类事件的概率如何计算,我们介
绍下面的全概率公式.例如,在医疗诊断中,为了诊
断出现症状B的患者,到底患了疾病A1,A2,…,An
中的哪一种,可用Bayes公式算出在症状B的情况
下,起因于疾病Ai的概率P(Ai| B),而后按各个后
验概率P(Ai| B)的大小来推断患者患哪种病的可
能性最大.
定义 设S为试验E的样本空间,A1,A2,…,
An为E的一组事件.若满足
(1)Ai,Aj两两互斥,i≠j,(i,j =1,2,…,n)
(2)∪
n
i=1Ai= S
则称A1,A2,…,An为样本空间S的一个有限
划分.(一般地,划分可用来表示按某种信息分成的
不同情况的总和,若划分越细,则相应的信息更详
尽.)
定理1(全概率公式) 设A1,A2,…,An为样
本空间S的一个划分,且P(Ai) >0,(i =1,2,…,
n),则对S中的任一事件B,有
P(B) =∑
n
i=1
P(Ai)P(B | Ai)
如果我们把Ai看成是导致事件B发生的各种
可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们,事件B发
生的概率恰好是事件B在这些“原因”下发生的条
件概率的加权平均,其中的权重分别为P(Ai).而
已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes公式来
计算.且告诉我们“Ai导致B”的可能性的大小恰与
乘积P(Ai)P(Ai| B)成比例.
例1.若发报台分别以0.7和0.3的概率发出信
号“.”和“-”,由于受到干扰,当发出“.”时,收报台
未必收到“.”,而是分别以概率0.8和0.2受到信号
“.”和“-”;同样当发报台发出信号“-”时,收报台
分别以概率0.9和0.1受到信号“-”和“.”.求收到
信号是“.”的概率.
解:设A0表示{发信号“.”},A1表示{发信号
“-”},B表示{收信号“.”}
由题意知,
P(A0) =0.7,P(A1) =0.3
P(B | A0) =0.8,P(B | A1) =0.1.
利用全概率公式有
P(B)=P(A0)P(B| A0)+P(A1)P(B| A1)=
0.70×0.8+0.3×0.1=0.59.
对这个问题,我们自然会提出这样的问题,若收
yh收稿日期:2006-08-12
作者简介:纪利霞(1976-),女,山西怀仁人,研究生,讲师.研究方向:基础数学和信息技术教学.
信号是“.”,问发报台发出的“.”信号的
概率多大.为此,下面我们介绍一下解决此问题的
Bayes公式.
定理2(Bayes公式) 设A1,A2,…,An为样本
空间S的一个有限划分,且P(Ai) >0,(i =1,2,
…,n),又设B为一事件,满足P(B) >0,则
P(Aj| B)=P(Aj)P(B| Aj)
∑
n
i=1
P(Ai)P(B| Ai)
(j=1,2…,n)
由Bayes公式容易得到在收报台收到“.”的条件下,
发报台发出信号“.”的概率为
P(A0| B) =P(B | A0)P(A0)P(B)=
0.8×0.7
0.59≈0.949
例2.有一个地区.男孩与女孩的出生比率假定
为85:15,假定人们是通过统计得到这个数据的.医
院通过B超可以确定孕妇所怀的是男孩还是女孩.
我们假定某个医院里的A医生因水平有限,确定孕
妇所怀婴儿的性别的准确率为80%.有一天有一个
孕妇到该医院进行B超,A医生说,该孕妇所怀的
是女孩.根据医生的判断,该孕妇怀男孩的可能性大
还是怀女孩的可能性大?
我们用Bayes定理来分析:在该孕妇去医院之
前,我们认为它生男孩的可能性为0.85,女孩的可
能性为0.15.这两个概率值为先验概率.当孕妇去
了医院后,我们可以根据医生结论来修正对该孕妇
生男孩和生女孩的可能性(概率).如果医生判断的
准确率是100%,那末,医生说生女孩,生女孩的可
能性就是1.但在这里,由于医生判断的准确率不是
100%,而是80%.所以我们要根据医生的结论利用
Bayes定理来修正我们的信念.我们对事件h、e的先
验概率为p(h),p(e),随着事件e的发生,此时我
们对事件h的验后概率p(h | e)应当为多少.Bayes
公式是这样的:
p(h | e) =p(h)p(e | h)p(h)p(e | h)+p(-h)p(e |-h)
上式中,h和e为两个事件;p(h | e)为e发生
时h发生的可能性;p(e| h)为h发生时e发生的可
能性;p(-h | e)为e发生时h不发生的可能性.
我们这里要求的是,当“医生说该孕妇怀女孩的
条件下”怀女孩的可能性为多大?该孕妇未去医院
前,她生女孩的先验概率为p(g) =0.15;生男孩的
先验概率为p(b)=0.85.而医生的准确率为80%,
即当孕妇怀女孩时,医生说成女孩的可能性为0.8,
即p(dg| g)=0.8,医生说成男孩的可能性0.2,即
p(db | g) =0.2.根据定理,p(g | dg)为:
p(g|dg)=p(dg| g)p(g)[p(dg| g)p(g)+p(db | g)p(b)]=
0.80*0.15
(0.80*0.15+0.2*0.85)=0.413.
p(b | dg) =1-0.413=0.587.
结论是:当医生说该孕妇所怀的是女孩时,该孕
妇怀女孩的可能性为41.3%,怀男孩的可能性为
58.7%.即此时,该孕妇怀男孩的可能性大于怀女孩
的可能性.
由以上的例子,我们可以得知,概率与我们的生
存、生活是密不可分的,在我们的生活中要想使我们
的期望效用最大化,我们必须考虑各种客观条件的
存在,用理性的科学的思文去判断问题、分析问题,
最终做出正确的决策.
参考文献
[1]潘天群.博弈思文[M].北京:北京大学出版社,2005.
[2]党景柏,贺兴时.概率统计及其应用程序[M].西安:陕西
科学技术出版社,1994.
On the Applying of Bayes in Our Practice Life
JI Li-xia
(Department of Mathematics,Shanxi Datong University,Datong shanxi,037009)
Abstract:This thesis introduced the importance of Bayes of the probability subject in making a strategic decision through two ex-
ample.
Key words:decision,Bayes,probability
·75·第5期 纪利霞:例说Bayes公式在决策中的应用220
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