极限分布函数分布 便为：
（5）
其中 成为尾部指数，描述了极值分布的尾部特征。 时，是厚尾分布，即Frechet分布，且 越大，尾部越厚，对于金融资产收益率的分布函数来说，尾部越厚表明金融资产价格巨幅波动的可能性越大； =0时，即对应于Gumbel分布； <0时，对应于Weibull分布。
2.3 几个统计工具[4]
对于给定的价格水平 ，我们可以计算出超过它的概率值。由 给出：
（6）
整理得：
（7）
其中 即为观测到最大值超过水平 的概率；相反，若我们已知一个概率，也能得到在此概率下的价格水平 。此外我们用于量化极值的另一个工具为等待时间 ，由（8）式给出：
（8）
可以解释为观察到一个比水平 更大或者相等的值所需要的平均时间。
3 实证研究
3.1 数据
本文选取上证综指1992年5月21日到2007年6月8日间的所有交易日的共计3679个对数日收益率作为数据，将其称为日回报率，定义为：
（9）
日回报率的均值为0.013317%,标准差为1.0796%。日回报率轻微的右偏，偏度为1.3525；峰度为22.52，这说明日回报率不服从正态分布。图1给出的是日回报率的QQ图，从图中可以看出，日回报率的上尾与下尾都不服从正态分布。
图1 上证综指日回报率的正态性检验
3.2 参数估计
本文采取极大似然估计法对模型进行参数估计，使用R软件中evd包即可实现。数据分别采用一月、一季、半年和一年的时间段中的日回报率。估计值下行括号内的数字为标准误差。最后采用KS检验选择最合适GEV模型的时间段长度。从KS检验的D值与P值可以看到采用一月和一年为时间段长度的数据对模型的拟合效果比较好。
时间长度 Loc=
scale=
shape=
K-
论文范文http://www.chuibin.com/ S检验（GEV)
极大收益：
一月 0.010677 0.006435 0.460097 D = 0.0394
(0.0004926) (0.0003282) (0.0777017) p-value = 0.9404
一季 0.01634 0.01009 0.45264 D = 0.0678
(0.001546) (0.001337) (0.159551) p-value = 0.9235
半年 0.02128 0.01276 0.35981 D = 0.1237
(0.002631) (0.002215) (0.165283) p-value = 0.6843
一年 0.0267 0.01194 0.85735 D = 0.1228
(0.004905) (0.004658) (0.591395) p-value = 0.9451
表1 极值分布参数的极大似然估计
为了进一步比较与选择，下面图（2）与图（3）分别给出的是以一年和一月为时间长度的日回报率在GEV模型下的几个图形。观察各个图形的效果以及对密度图的拟合，本文采用以一月为时间段长度的数据所估计出的参数值。
图2 上证综指日回报率年极大值在GEV分布下的PP图、QQ图
、密度图与回报水平图
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