下面通过几例,对产生错误的解法进行分析,研究纠正错误的方法,从中吸取有益的教训,以加深对知识的理解,提高解题能力.
例1 证明;斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上.
错解 如图, 对于平面 ,直线AB是垂线,垂足B是点A的射影;直线AC是斜线,C是斜足,直线BC是斜线AC的射影.
在AC上任取一点P,过P作PO⊥ 交BC于O,
∴点P在平面 上的射影在BC上.
点击 这样的证明似乎有点道理,事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上,但仔细分析,这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足,过点P作PO⊥ 交BC于O,恰恰是本题要证明的.是一种易犯的逻辑错误,许多同学在解题中往往错而不觉,对此应引起警觉.
正解 AC是平面 的斜线,点C是斜足,AB⊥ ,点B是垂足.
则BC是AC在平面 上的射影.
在AC上任取一点P,过点P作PO⊥ ,垂足为O.
∴AB⊥ , ∴PO ∥AB,
∵点P在A、B、C三点确定的平面上,因此,PO 平面ABC,
∴ O∈BC.
例2 已知 、 是两个不重合的平面,
①若平面 ⊥平面 ,平面 ⊥平面 ,则平面 ∥平面 ;
②若平面 内不共线的三个点到平面 的距离相等,则平面 ∥平面 ;
③a、b是平面 内的两条直线,且a∥ ,b∥ ,则平面 ∥平面 ;
以上正确命题的个数为( ).
(A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
错解 三个命题都正确,选(D).
点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析,缺乏把握空间元素位置关系的能力,不是用特殊代替一般,就是用一般统盖“特殊”.如判断①、②是真命题,只是考虑了图1与图2的情况,而忽略了图3与图4的情况.
(1) (2) (3) (4)
而判断③是真命题,则是对平面与平面平行的判定定理:“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行”没有真正理解,用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”.
正解 因为三个命题都不正确,所以选(A).
例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点,求证:E1H1,与F1G2是异面直线.
错证1 (直接法) 毕业论文http://www.751com.cn/
①连BD,由题设 = , = ,
∴ E1H1与BD不平行,设其交点为P,
则P∈BD.
∵ = = , 则 F1G2∥BD,∴ P F1G2.
②又E1P 平面BCD,且E1∈E1P,
∴ E1 平面BCD.
故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线.
错证2 (反证法)
设E1H1与F1G2不是异面直线,则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2.
①设E1H1 ∩F1G2=P,
∵E1H 平面ABD,F1G 平面CBD,
则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上,
则F1G2∩ BD=P,这与F1G2∥BD (∵△CBD中, = = )矛盾,
∴ E1H1与F1G2不相交.
②设E1H1∥F1G2,
∵ F1G2∥BD,由公理4知
E1H1∥BD,这与E1H1 BD=P(∵在△ABD中, = , = ,∴E1H1与BD不平行,必相交于一点P)矛盾,
∴ E1H1与F1G2不平行.
综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线.
点击 采用证法1时,有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上,且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上,只证E1H1与F1G2无公共点的一面,而忽视它们不在同一平面上,便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论,这是对其判定定理的片面理解,因而是错误的.
在采用证法2时,易犯的错误也是不全面,只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能.因此,一定要深刻理解异面直线的定义,克服证题中的片面性.
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角.
错解 连结A1C交BD1于E,则∠D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角.设正方体的边长为a.
则A1E=D1E= a.又 A1D1=a,
在△A1ED1中,由余弦定理得1958