cos∠A1ED1= = = =
∴∠A1ED1=arccos ,即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos .
点击 以上证法的错误在于，∠A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影．正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.
正解 ∵A1B1⊥平面A1ADD1, 又A1B1 平面A1B1CD
∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD.
连结AD1交A1D于O,则D1O⊥A1D,
∴D1O⊥平面A1B1CD.
连A1C交BD1于E，连OE，则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影,
∴∠D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角.
设正方体的边长为a, 则D1O= a, OE= AB= a,
在Rt D1OE中, tan∠D1EO= = ,
∴ ∠D1E0=aretan ，即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan .
例5 已知，AB是半径为R的⊙O的直径，0C⊥AB，P、Q是圆上两点，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.
错解 在平面AOC内，过点P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，则PD⊥平面BOC，连结DQ，
∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A—O—CB的平面角，
∴∠PDQ=900．毕业论文
http://www.751com.cn/ ∵∠AOP=300， ∴∠POD=600．
在Rt△POD中， PD=Rsin600= R,
在Rt△DOQ中， DQ=Rsin450= R,
∴在Rt△PDQ中，PQ= = = ,
即P、Q两点间的距离是 ．
点击 此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误．判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③这两条射线都必须垂直于棱．误解中忽视了条件③中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲．
正解 同错解，得PD= R.
又0D= R．在△0DQ中，由余弦定理得
DQ2=0D2+0Q2一20D•OQcos450
= = R2
在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=
= = .
故P、Q两点之间的距离为
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