反证法在几何问题中的应用
浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙
反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。
一、证明几何量之间的关系
例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， 。
求证： 。
证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。
∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，
∴ ， ； ， 。
∵AB不平行于CD，
∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。
∴ ①
但 ②
①与②矛盾。
∴
例2：直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、 、 ， 。
求证： 。
证明：毕业论文http://www.751com.cn/ 假设PO不垂直平面 。
作 并与平面 相交于H，此时H、O不重合，连结OH。
由P作 于E， 于F，
根据三垂线定理可知， ， 。
∵ ，PO是公共边，
∴
∴
又
∴
∴
因此，OH是 的平分线。
同理可证，OH是 的平分线。
但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是 和 的平分线，产生矛盾。
∴ 。
例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。
因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
所以，AC和BD是异面直线
上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。
二、证明“唯一性”问题
在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。
例3：过平面 上的点A的直线 ，求证： 是唯一的。
证明：假设 不是唯一的，则过A至少还有一条直线 ，
∵ 、 是相交直线，
∴ 、 可以确定一个平面 。
设 和 相交于过点A的直线 。
∵ ， ，
∴ ， 。
这样在平面 内，过点A就有两条直线垂直于 ，这与定理产生矛盾。
所以， 是唯一的。
例4：试证明：在平面上所有通过点 的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标 、 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。
证明：先证存在性。
因为直线 ，显然通过点 ，且直线 至少通过两个有理点，例如它通过 和 。这说明满足条件的直线有一条。
再证唯一性。1969