假设除了直线 外还存在一条直线 （ 或 ）通过点 ，且该直线通过有理点A 与B ，其中 、 、 、 均为有理数。
因为直线 通过点 ，所以 ，于是 ，且 。又直线通过A 与B 两点，
所以 ， ①
②
①－②，得 。 ③
因为A、B是两个不同的点，且 ，所以 ， ，
由③，得 ，且 是不等于零的有理数。
由①，得 。
此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。
所以，平面上通过点 的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。
综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。
关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。
三、证明不可能问题
几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性毕业论文
http://www.751com.cn/ 质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。
例5：求证：抛物线没有渐近线。
证明：设抛物线的方程是 ( )。
假设抛物有渐近线，渐近线的方程是 ，易知 、 都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组
的两组解的倒数都是0。
将（2）代入（1），得
（3）
设 、 是（3）的两个根，由韦达定理，可知
，
则 ， （4）
， （5）
由（4）、（5），可推得 ，
这于假设 矛盾。
所以，抛物线没有渐近线。
关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。
四、证明“至少存在”或“不多于”问题
在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。
例6：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。
求证：四边形中至少有一条边不小于 。
证明：假设四边形的边都小于 ，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设 ，
根据余弦定理，得 ，
∴ ，
即 。
这与已知四边形BD=1矛盾。
所以，四边形中至少有一条边不小于 。
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