用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新，应该说思文非常巧妙。
学生2同样展示了他的新探究：
用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候，学生的想象力可能是“天马行空”，甚至是荒唐的，这时候教师还要注意引导：解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多走了哪些思文回路？思文、运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加强知识的横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些重要的结果，有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？等等。通过不断地想象，让学生的思文能够持续飞翔，从而不断培养学生丰富的想象力。
四、培养发散思文。在教学中，培养学生的发散思文能力一般可以从以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思文角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等。特别是近年来，随着开放性问题的出现，不仅弥补了以往习题发散训练的不足，同时也为发散思文注入了新的活力。下面是我在教学实践中遇到的一个例子，事情缘起于一本教辅读物的一个练习题：求f(x),使f(x)满足f[f(x)]=x+2……… (1)，书后的答案是 f(x)= x+1。该题本意是在学生学习了函数的基本概念之后，通过一次函数复合的具体例子，让学生体会复合函数的概念。这样的设计思想是不错的，但是题目中没有明确给出“f(x)是一次函数”的条件，给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后，许多学生认为“f(x)是一次函数”的条件可由（1）推出，有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下，求出函数方程（1）的一个非线性解的兴趣被唤起，我不愿放过这样一个能让学生开阔数学眼界，提升思文深度的大好机会。于是，我开始探究能否构造一个满足（1）的非线性函数的例子。原文请+QQ3249,114辣.文^论,文,网
在具体进行构造之前，有必要了解f(x)的一些基本性质，以便构造时有正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有x1,x2使f(x1)=f(x2) ，则f(f(x1))=f(f(x2))；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f。(f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2……（2）因此，我们只要对满足0 <2的实数x定义f(x)，然后按照（2）将f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。令 为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函数记为 。下面k总表示整数，定义f(x)如下：
1）定义f(k)=k+1，k Z；
2）若2k<x<2k+1，定义f(x)=2k+1+ ；
3）若2k+1<x<2k+2，定义f(x)=2k+2+ ；
命题：如此定义的函数f(x)满足函数方程f[f(x)]=x+2.
在上面的函数中，函数 的选取有很大的任意性。下面是几个例子：
例1．如取 (x)=x (0<x<1)，容易验证此时f(x)=x+1
例2．如取 (x)=x 2 (0<x<1)和 (0<x<1)，则f(x)为非线性函数。
例3．可以构造逐段线性函数f(x)，如取
五、培养（诱发）学生的灵感。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如在一次不等式证明的复习课中，我举了这样一个例题： 。
问题的叙述如此简洁！要证明这个不等式成立，似乎无从下手。但我让学生观察不等式的结构形式——指数式，指数式怎么办？这时有学生说：化成对数式。这时我捕捉了学生的这一想法：
毕业论文
http://www.751com.cn/在分析中寻找解题的灵感，在转化中获取解题的信息，应用数形结合，于是活的解法也就脱颖而出。
姓名：肖 瑛
年龄：28
身份：高中数学教师
职称：中学二级
单位：江苏省太湖高级中学（214125）
本人自2000年参加工作以来，一直担任两个甚至三个班的高中数学教学工作，做了三年班主任，同时兼任备课组组长，完成了一轮循环教学。平时在教学实践中，不断探索、不断积累，参加的评优课获得了校级、区级的一等奖，市级的二等奖。撰写的《高中数学新课教学中“一分钟教学法”的运用》获得了“师陶杯”三等奖，《德育 数学？》获得了全国中小学德育优秀论文评选交流材料二等奖，《构建民主、平等、和谐、互动的课堂结构》正在参评。
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