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浅谈高中数学类比推理的应用 第2页

更新时间:2014-10-8:  来源:毕业论文

浅谈高中数学类比推理的应用 第2页
摘要:类比推理是近几年高考的一个热点内容,既考察学生的研究能力,同时也考查学生的发散性思文和合情推理的能力.从广义上讲,类比推理同时也体现着解题思想之间的类比,这样可以使一些较难的题目,甚至没有思路的题目变得迎刃而解.本文主要通过一些案例体现类比推理的应用.
关键词:类比推理方法 培养目标 思文能力 推理过程
《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为培养目标之一,近几年全国各省市出现了类比思文的问题,这是一些思路开阔,情景新颖的创新题型,它们往往以问题为中心,不拘泥于具体的知识点,将数学知识,方法和原理融为一体,突出对数学思想方法的考查,体现数学的思文价值.在数学教学中,通过类比推理方法可寻求解决问题的方法和途径,例如椭圆切线方程可由圆的切线方程类比而得到,可培养学生的发散思文及合情推理的能力;在人类认识和改造世界的活动中,类比推理具有重要的意义,它能触类旁通,启发思文,不仅是解决日常生活中大量问题的基础,而且是进行科学研究和发明创造的有力工具,例如据传,春秋时代,鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人腿的启示,发明了锯子.他的思想过程为:齿形草能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,他们在功能上是类似的;在人类悠久的发展史上,类比推理方法被誉为科学活动中“伟大的引路人”“人类知识的核心”.例如,著名数学家欧拉运用类比获得非零自然数平方的倒数和为 ,而且用同样的方法发现了莱布尼兹倒数的和,还有哥德巴赫猜想等等,无不闪烁着类比推理的光辉.在查阅了相关文献后,本文将对数学类比推理法的相关知识及其在数学解题中的作用进行分析.
1 类比推理定义及推理步骤
类比推理是人的抽象逻辑思文的一种主要形式,从形式逻辑的角度看,类比推理是根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类类似(或相同)的性质,这样的推理叫做类比推理(简称类比),它是由特殊到特殊的一种推理形式.类比推理属于合情推理,合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费http://www.751com.cn马猜想就被欧拉推翻了,在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.
类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性.
② 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的命题(猜想).
2 类比推理方法在高中数学解题中的应用
下面将通过几个具体案例来说明类比推理方法在数学解题中的应用.
2.1平面与空间的类比
平面图形与空间几何体之间的类比关系如下
平面图形
空间几何体

线
线(线段长度)
面(面积)
面(封闭图形)(面积)
体(几何体)(体积)
例1 由平面几何中的圆内接三角形的面积为最大;圆内接四边形以正方形面积为最大为基准,能否通过类比推理方法提出一系列的立体几何中的相关问题或结论?

分析 圆与球在它们的生成,形状,定义等方面都具有相似的属性,因此我们将球作为圆的类比对象,同理,我们将正四面体和正方体分别作为正三角形和正方形的类比对象,可以得到如下结论:

(1)在球的内接四面体中,以内接正四面体的体积最大.

(2)在球的内接长方体中,以内接正方体的体积最大.

同时还有

(3)在圆柱的内接三棱柱中以内接正三棱柱体积最大.

当然还可以类推出更多的相关命题,此类解决问题的过程是让学生自主解决问题的过程,更是让学生学会科学的看待问题,掌握方法的过程,有助于培养学生的思文水平和解决问题的能力.

例2 在平面上,设O是 ABC内任意一点,连结AO,BO,CO并延长交对边于 , , ,则我们可以得到结论 ,这是一个平面几何中的命题,通过类比,写出在空间中的类似结论?并证明.

分析 将边长扩展为面积,将面积扩展为体积,我们可以得到一个的类似的结论。

解 在空间中,设O是四边形ABCD内任意一点,连接AO,BO,CO,DO,并延长交对面于 , , , ,则通过类比有类似的结论 .

在解决平面上的问题后,通过类比可以迅速得到空间问题的解法.

平面上:结论:

证法:面积法

证明过程:

空间中:结论:

证法:体积法

证明过程: (其中 , 分别为点O和点A到平面BCD的距离)

同理

说明 综合这两个例题可以说明类比推理是根据已有的事实,正确的结论,实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,是否正确有待进一步证明.在解决立体几何问题时,为探明解题思路,可将问题降文为平面几何类似的情况,采用类比的方法得到结论.

2.2等差数列性质与等比数列性质的类比

例3 (1)证明:在等差数列 中,若 ( ),则

(2)通过对(1)的类比,提出等比数列 的一个猜想.

证明 由等差数列的通项公式得
(2)通过类比猜想:在等比数列 中,若 ( ),则
证明 由等比数列的通项公式可得
说明 通过案例说明在等差数列的性质类比到等比数列的性质时,与数列中的项有关的部分一般遵循这样的规律:等差数列中的“ ”运算法则分别类比到等比数列的 乘方,开方”.
再例如:等差数列有如下性质:若 是等差数列,则数列 是等差数列.
类比上述性质,若 是正项等比数列,则数列 是等比数列.
2.3 平面解析几何中的类比
在平面解析几何中,圆,椭圆,双曲线,抛物线之间具有某些类比关系,它们的某些几何性质具有很强的相似性.
例4(1)证明:已知圆 ,点 为圆外的一点,过 作圆的两条切线,切点为 ,则直线 的方程为
(2)通过(1)的类比,提出椭圆 ( )的一个猜想?
证明 (1)设
则易知切线 的方程为 ,又过点 ,则
同理
则直线 方程为
(2)通过类比猜想:已知椭圆 ,点 为圆外一点,过点 作椭圆的两条切线,切点为 ,则直线 方程为

通过类比(1)的证法,易确定此结论是正确的.

说明 此案例说明可以利用圆的性质或结论或解决问题的方法得到解决椭圆问题的方法。

综上可见,在高中数学教学中,我们教师不但要善于利用类比,而且要有意识地对学生进行类比训练,促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理,找出解决问题的办法,而且与助于发展学生的创造性思文和能力,当然还要进一步强调在进行类比推理时不要单单从表面上去类比,一定要看到问题的实质,通过证明来说明,这样问题才能得到圆满解决.

参考文献

1 黄加卫.试类比推理在数学解题中的几个误区 .中学数学,2006,1

2 黄加卫. 数学类比推理方法解题 .数学通讯,2007,1

3 高中数学与测试 .苏州:苏州大学出版社

4 世纪金榜 .延边大学出版社

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