注重解题反思提高数学解题能力
迅速提高数学解题能力，有诸多条件和因素。长期的教学经验表明，不少学生在完成作业或进行大量解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节：解题后的“反思”。何谓“解题反思”？一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法��一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论��举一反三，多题一解？……如此种种，就是“解题反思”。许多学生完成作业，因为学习态度和心理状态的不同，或者教师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯，解题能力和思文品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂未能入室。为了提高学生的解题能力，必须倡导和训练学生进行有效的解题反思。
一、何谓“解题反思”
完成一道数学题后，教师还必须引导学生认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核哪些方面的知
识和能力？验证解题结论是否正确合理？论证过程是否判断有据？本题有无其他解法？哪一种解法最简
捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论，即举一反三，多题一解？以上的思
索就是所谓的“解题反思”。
二、如何指导学生进行解题反思
解题反思有助于学生在原有基础上进一步建立更高层次的认知结构，从某种程度上说它比前三个阶段更为
重要。因此，在解题教学中不能满足于获得正确答案，教师要引导学生反思解题的思文过程，总结解题经
验教训。具体地说就是应该引导学生对解题过程和结论、解题思路、知识结构进行反思。
（一）对解题过程和结论的反思
1、引导学生反思题目命题的意图，考察的是哪个知识点。
2、引导学生反思解题的过程，论证过程是否判断有据？
3、引导学生反思解题后的结论是否正确合理。
(二)对解题思路的反思
数学知识环环相扣，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使第一次解答
得合理正确，也未必能保证解法是最优最简捷的。教师还应该引导学生进一步反思，探求一题多解，多题
一解的问题，从沟通知识、掌握规律、权衡解法优劣等方面来进行总结，使学生的解题能力更胜一筹。
1、引导学生反思从不同的角度或途径去分析，从而寻求多种方法。
通过引导学生进行一题多解，不仅培养学生思文的灵活性，同时也揭示了同类题目常用的解题技巧，
有利于提高的学生解题能力。
2、引导学生反思题目的类型和解法，思考是否存在与此题解法相同，但类型不同的题目，培养举一反
三，触类旁通的能力。
解后善于引导学生总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导学生去解决碰到的这类问题，便会迎刃
而解，发挥多题一解的优势。
（三）对知识结构的反思
学生对新学习的知识需要进行整理、归纳，通过反思，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的
整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。例如，引导学生反思、归纳函数、方程、不等式
三者之间的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；数与形的联系；算法思想在有
关内容中的渗透，在不同内容中的应用等等。此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，
教学中应重视向量与力、速度的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等等。通过反思，使学生对
数学方法、公式、定理的应用规律条理化，前后知识融
http://www.751com.cn会贯通，形成模块化，在解题中达到应用自如的程
度，从而有效提高学生的解题能力。
解题反思的积极意义有如下几个方面。
（一）积极反思，查缺补漏，确保解题的合理性和正确性
解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些学生把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误，应该引以为戒。
1.结论荒唐，引为笑柄。一名学生做立体几何必修本P.80第7题，由于单位换算和计算出错，竟然计算出电镀100克小镙丝钉需要28868千克锌！另一名学生计算一颗地球卫星离地面的最远距离是3厘米！如此荒谬绝伦的错误结论，本来只凭生活常识也足可鉴别真伪，可惜解题者竟深信不疑，作业上交，传为笑话。
2.解答不合理，造成错误。解数学题的正确性必不可少，但合理性的要求却常被忽视。
例 1979年高考题：已知log189=a，(a≠2)，18b=5求log3645，有的学生这样解：
整个解题过程，运算并无错误，学生自我感觉良好。但只要回顾一下解题过程，就会发现，命题所给的两个已知条件一个也没有用上！解题显然不合理。其实，本题是要求用已知数a、b表示log3645，并非求log3645的近似数值。学生是答非所设，答非所问。正确答案应由18b=5，得出b=log185及log189=a(a≠2)，从而有
3.以特殊代替一般，“瞒天过海”。高一代数作业题：证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)内是减函数。
一些学生这样证明：
∵f(-1)=2，f(-2)=9，f(-3)=28，…
又…-3＜-2＜-1，但2＜9＜28＜…，
即 f(-1)＜f(-2)＜f(-3)＜…，
∴f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是减函数。
这是典型的以特殊代替一般的错例。并且动用了四次省略号，企图以此覆盖整个（-∞，0）区间，偷梁换柱阉割函数增减性的总体性概念，犯了以不完全归纳法代替完全归纳法的错误。其实只要回头对照一下函数增减性的定义，以及高一代数上册P.36有关函数增减性证明的例题，是完全可以避免这种错误的。
方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0有两个实根，试确定m的值。学生这样解：
由方程有两个实根，可得
△=(-4m)2-4×2(m+1)×3(m-1)≥0，整理得
5.粗枝大叶，考虑不周造成错误。
例：解不等式alg(x-1)＜a2(a＞0且a≠1)
学生解：∵alg(x-1)＜a2,∴lg(x-1)＜2=lg102又y=lgx是增函数，
∴x-1＜102，即x＜101．
这是非常明显的错解。学生一手对底数a（a＞0且a≠1）不分青红皂白，不管指数函数的增减性，把解方程的方法套用于解不等式，并且不理会对数函数的定义域，手到擒来，草率下结论。解后不加反思，造成大错。（正确解法略）
6.臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念。有一道重点中学高一联考题
学生错解如下：
“垂直于同一直线的两条直线平行”判定定理这一相近知识套用到立体几
何中来，臆造“定理”，判断无据。
垂直，与“过一点有且只有一个平面和一条直线垂直”矛盾，所以a∥平面M。
以上常见的学生解题错误，不胜枚举，有的明显可见，有的稍为隐蔽，但只要学生自己解题后能认真进行反思，是不难发现并及时予以纠正的。可惜不少学生只满足于一知半解，解完了事，不加探索回顾，任其漏洞百出。这种错误思想和做法，像蛀虫一样严重蛀蚀着学生的思文品质，影响学生解题能力的提高。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视。
（二）积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。
证法一（从左到右）∵log1227=3log123=a，
证法二（从右到左）∵log1227=a
以上一题多解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等。这些对提高解题能力是多么重要。
2.多题一解。8个不同元素排成前后两排，每排4个元素，有多少种排法？
8个不同元素排成3排，前排4个，中排3个，后排1个，有多少种排法？
一步论证，从而可以推出这类题目的统一解法：n个元素排在n个位置上，
后善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类
问题，便会迎刃而解，发挥多题一解的优势。
（三）积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如，有的放矢
不少学生做题，易犯就事论事，就题论题，“铁路巡警，各管一段”的毛病，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。请看下面是如何在解题中小结三角函数和积互化公式的作用和应用规律的。
和差化积、积化和差是三角函数恒等变换的重要手段，和差化积实质上是三角函数的一种特殊的“因式分解”，积化和差是其逆变换。
1.和差化积是为了制造公因式
例1.在△ABC中，比较sinA+sinB+sinC与sin(A+B+C)的大小。
解∵(sinA+sinB+sinC)-sin(A+B+C)
=[sinA-sin(A+B+C]+(sinA+sinC)
(∵A、B、C是三角形内角)
∴sinA+sinB+sinC＞sin(A+B+C)
2.和差化积是为了制造特殊角
例2．证明sin87°-sin59°-sin93°+sin61°=sin1°
证:原式左=(sin87°-sin93°)+(sin61°-sin59°)
(制造了特殊角87°+93°=180°，59°+61°=120°)
3．和差化积是为了把和差角化为单角或特殊角
例3．证明cos2(α+β)+cos2(α-β)-cos2αcos2β=1
(把和差角化为单角为2α，2β)
4．积化和差是为了制造特殊角或抵消项
小结：和积互化公式的应用规律是：制造公因式，制造特殊角，化和差角为单角或特殊角，制造抵消项。解题后如此反思，对重要数学方法、公式、定理仿上依法炮制，长此下去,肯定对新学知识的内在联系脉络清楚，运用规律了如指掌，解起题来得心应手，解题能力大有提高。
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