根据收入分布函数与Lorenz 曲线的联系，令 为全体人口的平均收入，可推导出 ：
进而，由FGT 指数可以用下式求出：
可以推导出两种基于参数化洛伦兹曲线来计算FGT贫困指数的公式，一种是GQ(general quadratic)模型(Villasenor和Arnold,1989)，一种是Beta模型(Kakwani,1980 )。 GQ模型比Beta模型简单，可直接计算出贫困发生率，但在贫困线较低时计算的准确性不高，因此本文采用Beta模型。
设Bata模型为：
(9)
对于Bata模型，将（2）、（3）、（4）式代入可得：
其中，
（三）分解贫困指标
首先，本文采用固定的贫困线。设贫困率的变动只与经济增长和收入分配有关。经济增长用收入来反映，收入分配用Lorenz曲线反映，则某年的贫困率可表示为P(µ,L), µ为居民的人均纯收入,L为该年度的农村居民收入分配情况的Lorenz曲线。
其次，设基期的贫困变化率是P(µ1,L1)，报告期的贫困率为P(µ2,L2)，则基期和报告期的贫困率的变动是：△P= P(µ1,L1)-P(µ2,L2).基期和报告期贫困率发生变化的原因在于人均收入和收入分配发生了变化。
再次，为了计算人均收入和收入分配对贫困率改变的贡献，构建两个假设的贫困率P(µ1, L0)和P(µ0, L1)。P(µ1,L0)表示报告期，人均纯收入变动但收入分配没有变动； P(µ0,L1)表示在报告期，人均纯收入文持基本水平但收入分配发生变动。
最后，采用Sharpley法分解贫困指标可以得到以下公式,
经济增长对贫困率的变动的贡献为：
(14)
收入分配对贫困率变动的贡献为： (15)
三、数据描述与数据处理
(一)数据来源
本文研究的地域范围是宁夏农村地区。需要注意说明的是，受环境资源等因素影响，宁夏南北农村居民收入差距大。宁夏北部地带黄河贯穿全境，是一个富庶的平原地区；南部山区干旱少雨，自然条件差，山大沟深，经济落后，全国592个国定贫困县中宁夏的8个县都集中此，被国家列入重点扶贫地区之一，称西海固，与甘肃的河西、定西地区通称“三西”地区。
本文研究对象包括两个群体：未解决温饱的绝对贫困人口和基本解决温饱的低收入贫困人口。研究数据的主要是从宁夏回族自治区农村社会经济调查队编辑的历年调查年鉴中获取，数据主要部分来自历年农村住户按照人均纯收入的分组资料，期间年鉴的名称有些变化：1985年以前的资料名称为宁夏回族自治区农村抽样调查队，宁夏回族自治区农村抽样调查资料；1985－1995年的资料名称为宁夏回族自治区农村社会经济调查队，宁夏农村社会经济调查资料；1996－2005年的资料名称为宁夏回族自治区农村社会经济调查队，宁夏农村社会经济调查年鉴。因作者在论述期间，2006年的统计年鉴尚未整理出来，故数据做到2005年底为止。
（二）数据说明
本文中所用到的1985－2005年的农村居民收入的数据是按户分组的纯收入数据。统计年鉴中对纯收入的定义是农村住户当年从各个来源中得到的总收入相应的扣除所发生的费用后的收入的总和。即纯收入＝总收入－家庭经营费用支出－税费支出－生产性固定资产折旧－赠送农村外部亲友支出。
由于研究时期跨度较长，各项收入来源指标的口径不一致。 1992年以前，全年总收入有四项：从集体统一经营中得到的收入、从经济联合体得到的收入、家庭经营收入和其他非借贷性收入。1992年以后，实行新的住户调查指标体系，全年总收入调整四项为：工资性收入（部分年份是劳动者报酬收入）、家庭经营收入、财产性收入和转移性收入四项 。为了使各个时期的数据具有可比性，统计调查年鉴中将1992年以前的指标调整为新的住户调查指标。调整方法如下：工资性收入=从集体统一经营中得到的收入+从经济联合体得到的收入+1992年以前家庭经营收入中的生产性劳务收入；1992年以后的家庭经营收入=1992年以前的家庭经营收入—生产性劳务收入；财产性收入+转移性收入=其他非借贷性收入。
(三)数据调整
在使用数据的过程中，因不同时间的贫困线的时间序列对比描述不准确，故以1985年消费价格为100，对1985—2005年农村居民人均纯收入使用宁夏农村CPI对数据做了调整。数据调整的前后对比如表1所示。(调整的过程数据见附表表1)
表1 1985-2005年宁夏农村CPI及农村居民人均纯收入的调整
Tab.1 The adjustment of income of rural household and rural CPI of Ningxia between 1985 and 2005
年份 宁夏CPI
（85年＝100） 宁夏农民纯收入 宁夏调整后纯收入 绝对贫困线 相对贫困线
1985 100.00 325.88 325.88 205.00 287.00
1990 165.35 594.28 359.41 205.00 287.00
1995 298.67 1036.99 347.20 205.00 287.00
2000 321.89 1724.30 535.68 205.00 287.00
2005 348.90 2508.90 711.04 205.00 287.00
资料来源：1985－2005年国家统计局农村社会经济调查总队:《中国农村住户调查年鉴》，中国统计出版社出版。
利用Lorenz曲线方程估计需要一组Lorenz点,但是作者获得的分组数据仅提供收入分组及落入各组的居民户数,无法直接计算出累计人口比例和累计收入比例.Aitchison和Brown(1963)指出,在人口基数很大的情况下,收入服从对数正态分布.根据对数正态分布的性质,采用非线性回归拟合出对数收入的标准差,在算出相应的累计收入比例.这样就有了一组Lorenz点,再根据这组Lorenz点可以拟合出Lorenz曲线的表达式.这里以2005年为例说明，如表2所示。
表2 2005年宁夏农村居民调查户比重及人均收入（即Lorenz曲线点）
Tab.2 The proportion of accepted investigation of rural household and per capita annual net income of Ningxia in 2005(that is Lorenz Curve)
纯收入分组
(元) 调查户占总户数的比重
（％） 人均收入
（元） 人均收入
（％） 收入累计
（％）
100元以下 1.00 -403.58 0.01 -0.0015
100-200 0.17 145.43 0.01 -0.0014
200-300 0 0 0.01 -0.0014
300-400 0.50 355.12 0.02 -0.0007
400-500 0.67 430.93 0.04 0.0003
500-600 2.00 559.83 0.08 0.0044
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