数字信号处理DSP毕业论文 第12页

分四种情况分别讨论H(w)的特点：

    (1)当h(n)偶对称，N为奇数时：

                                                                                    (2-34)

                                                                                                      (2-35)

幅度函数的特点：H（ω）对ω＝0, 呈偶对称。

    (2)当h(n)偶对称，N为偶数 时 ：

                                                        (2-36)

    幅度函数的 特点：
    当ω= 时， ，在z＝-1处有一个零点， 对ω= 是奇对称；

    如果滤波器在ω= 处幅度不为零（如高通滤波器）， 则不能用这种滤波器。

    (3)当h(n)奇对称，N为奇数时

                                                                                    (2-37)

幅度函数的 特点：
    在ω＝0， ， 处都为零，也就是H(z)在 处为零；
    对ω＝0， ， 都成奇对称。

    (4)当h(n)奇对称，N为偶数时：

                                                        (2-38)

    幅度函数的特点：
     在ω＝0, 处为零，即H(z)在z=1处为零点；
     对ω＝0, 呈奇对称，对ω＝ 呈偶对称。

零点位置：

线性相位FIR滤波器的系统函数有以下关系：

                                                                                        (2-39) 

可见，若z=zi是H(z)的零点，则z=1/zi也一定是H(z)的零点。又由于当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以z= 及z=1/ 也一定是H(z)的零点。因而线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。

有四种可能性：

(1)  zi既不在实轴上，也不在单位园上，则是互为倒数的两组共轭对

(2)  zi不在实轴上，但是在单位园上，则共轭对的倒数是它们本身，故只有一组共轭对。

(3)  zi在实轴上而不在单位园上，只有倒数部分，无复共轭部分。

(4)  zi既在实轴上又在单位园上，有两种可能，z＝1或z＝－1。

总结

    (1)  单位冲激响应h(n)的特点

FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长( ),其z为：

                                                                     (2-40)

在有限Z平面有(N-1)个零点，而它的(N-1)个极点均位于原点z=0处。

(2)线性相位的条件

    如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件：

偶对称h(n)＝h(N-1-n)
    奇对称h(n)＝-h(N-1-n)

其对称中心在n＝(N-1)/2处，则滤波器具有准确的线性相位。

窗函数设计法：

设计思路：

    一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应 ，由 导出 ，我们知道理想滤波器的冲击响应 是无限长的非因果序列，而我们要设计的是 是有限长的FIR滤波器，所以要用有限长序列 来逼近无限长序列 ，设：

                                                                                (2-41)

    常用的方法是用有限长度的窗函数w(n)来截取 即：

                                                                                                   (2-42)

这里窗函数就是矩形序列R_N(n),加窗以后对理想低通滤波器的频率响应将产生什么样的影响呢?根据在时域是相乘关系,在频域则是卷积关系:

                                             (2-43)

    其中, 为矩形窗谱, 是FIR滤波器频率响应.

    通过频域卷积过程看 的幅度函数H(ω)的起伏现象,可知,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：

    (1)使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。

    (2)在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。

(3)改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。

(4)对窗函数的要求
    a、窗谱主瓣尽可能窄，以获取较陡的过渡带；

b、尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。

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