从图4.2中 可以看出，上、下两个子带滤波器幅度响应 关于
若图片无法显示请联系QQ752018766 图4.2 H0，H1频率特性
滤波器组的处理过程是先由分析滤波器组对输入信号进行频带的分裂，然后再用合成滤波器组利用经过处理的子带信号重构出信号。在这一过程中滤波器组的完全重构特性是非常重要的。也就是说，如果抛开中间子带处理的过程，输入信号 x( n)经过分析滤波器组的分解，然后再由合成滤波器组重构出的信号 y(n)应该只是输入信号纯延时，即 y( n)= x(n-d)，满足这一条件的滤波器组称为完全重构滤波器组。具有完全重建特性是滤波器组的一个基本要求。
QMF组的重建误差由混叠误差，相位误差 ，幅度误差和量化误差组成。混叠失真是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及抽样频率不能大于其最高频率成分所致，通过设计综合滤波器组配合分析滤波器组可以去除混叠误差；幅度失真是因为分析和综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数, 一般只是设法减小幅度失真；相位失真是因为分析和综合滤波器组相频特性不具有线形相位，将分析/综合滤波器设计成具有线性相位的FIR就能完全消除相位失真。量化误差是由于编码和运算的量化而产生的失真，不能完全消除，只能设法减小。
然而, 作为一个滤波器, 希望它的通带尽量的平、阻带尽量的快速衰减, 且过渡带尽量的窄。但由假设是得到的H0(z)和H1(z)不可能满足这些要求, 因此他们无任何实际意义。所以, 按H0(z)=H1(- z)指定分析滤波器组, 在H0(z)和H1(z)有实际价值的情况下就不可能完全消除幅度失真, 做不到完全重建; 反之如果完全消除了幅度失真, 就不可能去除相位失真, 也做不到完全重建。
解决矛盾的途径:
1．用FIR QMF 滤波器组, 在消除相位失真的基础上, 尽可能的减小幅度失真, 做到近似完全重构;
2．放弃H0(z)=H1(-z)的简单形式, 去更合理的形式, 从而实现完全重建。
综上分析可知, QMF 滤波器组的实现并不简单, 一般只能做到近似重建, 近似程度取决于设计的优化。
下面我们以两通道滤波器组为例来讨论滤波器组满足完全重构的条件。省略中间子带处理过程，重构信号 y( n)可以写成：
(4-1)
其中:
(4-2)
(4-3)
T(z)称为系统失真函数，A(z)称为混迭分量。将前面提到的完全重构要求写成 z 域形式有：
(4-4)
下面根据T(z)和 A(z)来讨论完全重构条件：
消除混叠的条件：A(z)=0,即：
(4-5)
按照通常QMF组中的关系，H1（z）应该是H0（z）在频域中平移π角的结果，即:
(4-6)
将式（4-6）带入(4-5)可以得到：
(4-7)
(4-8)
消除混叠的前提下纯延迟的的条件：
(4-9)
也可以写成：
(4-10)
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,
则有:
(4-11)
P(z)减去P(-z)后偶次项互相抵消，只含有奇次项，且 P(z)中只有一项非零，所以k必为奇数。
在设计QMF组的一种新算法及基于GA的优化[18]中提出了一种有效的QMF组直接设计法：
首先用窗函数法设计低通滤波器H0(z)。利用汉明窗设计截止频率为e，且通带阻带性能较好，过渡带d较窄的低通滤波器H0(z)，其中e取初值 0.5。
再根据式(4-6),(4-7),(4-8)的结论分别求出H1(z),G0(z),G1(z).这样得到的分析/综合滤波器组就具有线性相位,同时也消除了混叠失真，滤波器组的重建误差为：
(4-12)
然后在区间(e-d,e+d)内，调整e的值，重复上面步骤，找到使△值最小的e和分析/综合滤波器的系数。这样就得到了初步优化的滤波器组系数，再用蚁群算法对系数进行优化，得到最后的结果。
这种直接方法，在消除混叠失真和相位失真的前提下，最大程度的减少幅度失真，设计的滤波器通带阻带频率特性好，过渡带较窄，再用适当的优化算法进行优化，可以得到较满意的重建结果。
选取适当的优化算法对直接设计得到的滤波器系数进行优化,进一步减少重建误差能得到比较满意的结果。针对QMF组系数优化的具体问题，下面提出一种采用蚁群算法对直接设计得到的结果进行优化的方法。
众所周知 ，社会性昆虫如蚂蚁、蜜蜂等，虽然其单个个体行为非常简单、随机，但是它们却可凭集体的力量进行觅食、御敌、筑巢等复杂活动。这种群体所表现出来的，就称之为群集智能[19](Swarm Intelligence，简称SI)。从社会性昆虫相互合作进行工作中得到启发，人们通过对社会性昆虫这种复杂系统的模拟，提出了一系列对于传统问题的新的解决方法，即群集智能算法。群集智能中的群体(Swarm)指的是“一组相互之间可以进行间接通信[20](Stigmergy)的主体，这组主体能够合作进行分布式问题求解”。而所谓群集智能指的是“无智能的主体通过合作表现出智能行为的特性”。群集智能在没有集中控制并且不提供全局模型的前提下，为寻找复杂的分布式问题的解决方案提供了基础。蚁群优化正是群集智能算法中最重要的分支之一。生物学家通过长期观察发现，蚁群有一个令人感兴趣的特性，即蚁群在觅食的时候总是可以找到从蚁巢通向食物的最短路径。事实上，当蚂蚁寻找食物时，在从蚁巢到食物(或者从食物返回蚁巢)的途中，会在其经过的路径上释放一种挥发性的化学物质，称作信息素[21] (Pheromone)。信息素可以沉积在路径上，并随着时间逐步挥发。当蚂蚁在选择路径的时候，它们倾向于沿着信息素气味较浓的路径前进。因此，信息素可以引导蚂蚁通向食物(或者返回蚁巢)。实验表明，正是这种沿着信息素寻路的特性使得蚁群能够找到蚁巢通向食物的最短路径。换言之，当蚁巢和食物之间存在较多条路径时，整个蚁群可以通过搜索各个个体蚂蚁留下的信息素痕迹来找到往返于蚁巢和食物之间的最短路径。
蚁群算法通过模拟蚁群搜索食物的过程，达到求解比较困难的组合优化问题的目的。该方法是受到对真实蚁群行为研究的启发而提出的。为了说明蚁群算法的原理，先从蚁群搜索食物的过程谈起。像蚂蚁、蜜蜂、飞蛾等群居昆虫，虽然单个昆虫的行为极其简单，但由单个简单的个体所组成的群体却表现出极其复杂的行为，原因是什么呢?仿生学家经过大量细致的观察研究发现，蚂蚁个体之间是通过一种称之为外激素(Pheromone)的物质进行信息传递的。蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路径上留下该种物质，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质的存在及其强度，并以此指导自己的运动方向，蚂蚁倾向于朝着该物质强度高的方向移动。因此，由大量蚂蚁组成的蚁群的集体行为便表现出一种信息正反馈现象:某一路经上走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路径的概率就越大。蚂蚁个体之间就是通过这种信息的交流达到搜索食物的目的。
蚁群算法是一种随机搜索算法,与遗传、模拟退火等模拟进化算法一样,通过候选解组成的群体在进化过程中寻求最优解[20],其具有以下特点:
（1)较强的鲁棒性:对基本蚁群算法模型稍加修改,即可应用于其它问题的求解;
（2)分布式计算:基于种群算法,具有并行性;
（3)易于与其它启发式算法相结合,以改善算法的性能。
在蚁群优化算法中，一个有限规模的人工蚁群体可以相互协作的搜索用于解决优化问题的较优解。每只蚂蚁根据问题所给出的准则，从被选的初始状态出发建立一个可行解，或是解得一个组成部分。在建立蚂蚁自己的解决方案中，每只蚂蚁都
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