基于傅立叶变换的数字水印嵌入技术 第5页

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第三章  傅立叶域水印理论基础

3.1 傅立叶变换简述

傅立叶变换(Fourier Transform)是研究信号的频谱方法，它架起了时域和频域之间的桥梁。打个比方来说，傅立叶变换就好比描述函数的第二种语言，能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似地，图像处理者在解决某一问题时会在空域和频域之间来回切换。傅立叶变换把一个时域信号函数分解为众多的频率成分，这些频率成分又可以准确地重构成原来的时域信号，这种变换是可逆的且保持能量不变。下面两个公式(3.1)、(3.2)给出了傅立叶变换及其逆变换：

                                        （3.1）

                                      （3.2）

从时域到频域称为Fourier变换，从频域到时域称为逆Fourier变换，信号函数 和它的Fourier变换 是同一能量信号的两种不同表现形式。

Fourier分析理论十分完善，既可以处理连续的信号也可以处理离散的信号。计算机只能处理离散的信号，于是离散Fourier变换(DFT)成为计算机实现Fourier变换的第一种形式。下面我们仅讨论一文离散傅立叶变换和二文离散傅立叶变换。

3.1.1 一文离散傅立叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

对一个连续函数 等间隔采样得到一个离散序列。设共采样 个数据。则这个离散序列可表示为 ，并令 为离散时域变量， 为离散频域变量，则可将傅立叶变换对定义如下：

                                 (3.3)

                                (3.4)

一般地， 是实函数， 是复函数，可以写成：

。                                            (3.5)

其中， 、 分别为复数的实部和虚部。下式为幅度函数，称为 的傅立叶谱：

                                          (3.6)

称为相位函数：                       

                                       (3.7)

既可以在幅度函数 上嵌入水印，也可以在相位函数 上嵌入水印。DFT中，如果 为实函数，则一共需要 次实数与复数的乘法， 次复数加法，一次实数与复数乘法需要两次实数乘法，一次复数加法需要两次实数加法，所以总共需要 次实数乘法， 次实数加法，因此时间复杂度为 ，当 很大时，计算机是无法接受的。因此人们想出了快速傅立叶变换。

3.1.2 快速傅立叶变换 FFT(Fast Fourier Transform)

1965年，美国的两位工程师Cooley和Tukey提出了快速傅立叶变换（FFT）。FFT的基本思想是：

令序列 的长度 为 ，如果不满足，在尾部补零，没有任何影响。按 的奇偶把 分解为两个 点的子序列：

                                  (3.8)

                                (3.9)

那么,

                                   (3.10)

将(3.7)和(3.8)代入上式整理得:

                                  (3.11)

上式右边的两部分恰好是长度(周期)为 的 的傅立叶变换 ，所以：

                              (3.12)

                       (3.13)

(3.12)和(3.13)可简记为图3.1的蝶式运算：

                              图 3.1 蝶式算法

Fig. 3.1 papilionaceous arithmetic

这样一个长度为 的DFT就分解为两个长度为 的DFT,然后进行 次复数的蝶式运算，再运用分解－递归的思想，分解 次，每一次均有 个蝶形运算，一个蝶形运算包含一次复数乘法和两次复数加法，所以FFT的时间复杂度为 。

3.1.3 二文离散傅立叶变换

在数字图像处理中，图像信号是二文的，所以下面我们讨论二文离散傅立叶变换。只要考虑两个变量，就很容易将一文离散傅立叶变换推广到二文。二文离散傅立叶变换对如下：若图片无法显示请联系QQ752018766

              (3.14)

            (3.15)

二文离散傅立叶变换的傅立叶谱、相位、功率谱与一文的类似，分别如下：

傅立叶谱：                                    (3.16)

相位： :                                     (3.17)

功率谱：                              (3.18)

式(3.14)可分离为:

                                  (3.19)

式(3.15)可分离为:

                                       (3.20)若图片无法显示请联系QQ752018766

可见，一个二文傅立叶变换或反变换都可分解为二步进行，其中每一步都是一个一文傅立叶变换或反变换，也即先对图像进行一文行傅立叶变换(或列傅立叶变换)，然后再进行一文列傅立叶变换(行傅立叶变换)。

3.2 傅立叶变换性质

傅立叶变换的典型性质有下列三种。

3.2.1 空间域平移性

空间域内的图像 的原点平移到点 时，其对应的频谱变换关系为：

                                 (3.21)

即频谱乘上一个负的指数项，造成相位平移，而幅度不改变。因为

                                 (3.22)

    这表明图像在空间域的平移不改变傅立叶域的幅度谱，仅对相位角有影响。

3.2.2 旋转不变性

在空间域中以极坐标 取代 ；在变换域以 代替 ，使得：

 若图片无法显示请联系QQ752018766                                           (3.23)

显然，在DFT变换前图像为 ，DFT变换后为 .可以证明存在以下变换对：

若图片无法显示请联系QQ752018766                                           (3.24)

这表明，图像阵列 在空间域中旋转了 角度后，变换系数矩阵在频率域中也旋转同样的角度。同样的，如果变换域系数阵列在频率域中旋转 角度后，则反变换后获得的空间域图像 必然旋转 角度。

3.2.3 比例缩放性

函数 的尺寸缩放到 时，其对应的频谱关系为

               若图片无法显示请联系QQ752018766                         (3.25)

这表明图像在空域按比例缩放，其傅立叶频域反方向缩放相同比例 ^[11]。

傅立叶变换的这三种典型性质在构造抵抗几何攻击的水印算法时十分有利

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