第二章 小波变换概论
2.1小波分析的发展史
自从1822 年傅里叶（Fourier）发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力），也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用δ 函数展开时，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性（或分辨能力），也即δ 函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；探地信号，在不同目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析和δ 分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。
为了研究信号在局部时间范围的频率特征，1946 年Gabor 提出了著名的Gabor 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换）。虽然STFT 已在许多领域获得了广泛的应用，但由于STFT 的本身特点决定了其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们希望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号采用大时间窗进行分析，这种变时窗的要求同STFT 的固定时窗的特性是相矛盾的，这表明STFT 在处理这一类问题时已不在实用了。
小波分析（Wavelets Analysis）是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深刻的理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬变反常信号并分析其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。由于小波具有多分辩分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统的傅里叶变换已被许多应用领域的事实所证实。因此，自小波分析诞生到现在不过10 年的时间，就在诸如地球物理勘探、信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障诊断、雷达信号分析等取得了很佳的应用效果。
小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属1910 年Haar提出的规范正交基，这是最早的小波基，但当时并没有出现“小波”这个词。1936 年Littlewood 和Paley 对傅里叶级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，其傅里叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor 提出的加窗傅里叶变换（或称短时傅里叶变换）对弥补傅里叶变换的不足起到了一定的作用。后来，Calderon、Zygmund、Stern 等将L-P 理论推广到高文，并建立了奇异积分算子理论；1965 年Calderon 发现了再生核公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到一个正交系的结论。1981 年，Stormberg 对Haar 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982 年Battle 在构造量子场论中采用了Calderon 再生核公式的展开形式。
小波概念的真正出现应算于1984 年。法国地球物理学家J.Morlet 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开。随后，他与A.Grossman 共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1985 年，法国的大数学家Meyer 首先提出了光滑的小波正交基,对小波理论做出了贡献。1986 年，Meyer 及其学生Lemarie 提出了多尺度分析的思想。1987 年Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辩分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1988 年，年轻的女数学家Daubechies I.提出了具有紧支集的光滑正交小波基——Daubechies 基，为小波的应用研究增添了催化剂，同年， Daubechies I.在美国主办的小波专题讨论会上进行了十次演讲，引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。
2.2 小波变换理论及其性质
函数f ( t) 的连续小波变换涉及到一个母小波ψ( x) ,母小波可以是任何满足下列特性的实的或者实复的连续函数。
(1) 函数曲线下的总面积为零,即
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(2)
这个条件意味着小波平方的积分必须存在,也可以说小波必须平方可积, 或者说它属于平方可积函数集。一旦选定了小波ψ( t) ,则可以定义连续的小波变换为
(2-3)
式中: a 为尺度(或伸缩) 参数; b为平移参数。a >1 为拉伸小波,而0 < a < 1 时为收缩小波。现实生活中所产生和分析的信息都是离散的,以数而不是以连续函数的形式出现,所以实际应用的都是离散小波变换而不是连续小波变换,f ( t) 的离散小波变换定义为
(2-4)
式中:。离散小波变换的性能在很大程度上取决于尺度因子和时移的选择,以及小波的选择。小波要受测不准原理的支配。测不准原理的一个重要的结论是不可能同时在时间域和频率域都获得很好的局部化特征。对此,小波为我们提供了一个折衷方案或者是一个最优化的解,这是小波分析优于传统变换方法的一个特征。要构造一个小波函数ψ( x) , 首先应使它满足容许性条件
(2-5)
式中:ψ是ψ的傅里叶变换。容许性条件保证了连续小波逆变换的存在。对于小波函数ψ( x) 而言, 除了要满足容许条件以外,针对具体问题还有许多性能上的要求,
这也导致了小波具有以下的一些主要特征。
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