基于小波变换的图像数据压缩 第6页

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(1)    正交性。对于正交小波,它对应一正交镜像滤波器组,即低通滤波器h0 ( n) 和高通滤波器,g₀ ( n) 满足  ,且 δ 。

正交性可以去除相关性,且保证精确的重建图像。

(2) 紧支集。如果尺度函数和小波是紧支撑的,则滤波器h₀ ( n) 和g₀ ( n) 是有限冲激响应滤波器,这也意味着其冲激响应h₀ ( n) 和g₀ ( n) 是有限长度的,快速运算中的运算是有限的。对于非紧支撑小波,则希望其快速衰减,使其滤波器能与FIR 有效近似。

(3) 光滑性。由于图像的大部分(除少数边缘外) 是光滑的,因而小波的光滑性对压缩应用很重要。压缩通常将小的系数舍去,即量化为零,若小波不太光滑,则误差比较明显。

(4) 对称性。若尺度函数与小波对称,其滤波器将具有线性相位,这样它在形成金字塔形数据结构时不需要相位补偿就能精确重建图像。遗憾的是,研究表明不存在具有完美重建质量的正交的有限脉冲响应线性滤波器。

(5) 双正交性。为解决正交性、对称性和紧支性的矛盾,Cohen 等人引入了双正交小波。相应的合成滤波器的低高通冲激响应为h1( n) 和g1( n) ,则双正交性表现为以下的等式。

                         δ                                (2-6)

双正交小波降低了对正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使之可以达到线性相位和滤波器冲激响应较短的要求,易于提高运算速度。

(6) 消失矩。若小波函数ψ( x) 满足式

   ,即ψ(ω) 在零点的0 阶至k - 1 阶导数为零,则称ψ( x) 的消失矩为k 。消失矩决定了逼近光滑函数的收敛速度,与小波的光滑性也有关。对于光滑的图像,消失矩越大会导致小波系数越小,压缩比就有可能提高;而对不光滑的图像,将会有更大的小波系数,不利于编码。

2.3图像的小波变换

图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等,即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩,是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性,表现在图像的能量主要集中于低频部分,而水平、垂直和对角线部分的能量则较少;水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息,具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像,水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对变换后所获得的4 个子图,根据人的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。小波作为一个函数,它的平移伸缩系用于可测平方可积空间L2 ( R) 的展开,是由Grossman 和Morlet 首先引入的。小波变换的主要思想,是在不同的尺度上分析函数。我们用母小波构造不同尺度的小波,然后相对于被分析的函数进行平移。平移的结果决定于小波与被分析函数匹配的程度,不同尺度(或分辨率) 的小波得到不同的结果。由Stephane Mallat 和Yves Meyer 引出的多分辨分解的原理,是将所有给定尺度的小波变换系数放在一组,显示它们叠加的结果,并在所有的尺度上重复这一过程。Daubechies 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支集规范正交小波基,将在那时之在像的小波分解与合成过程中,边界的处理也显得较突出。由于传统的小波变换是定义在

双边无界的区间上,而实际的信号或图像都是有界的,因此必然涉及到边界的延拓问题,不同的延拓方式会带来不同的结果。从理论上讲,最合理的延拓应该是将信号当作周期信号,即周期延拓。但周期延拓必然造成图像边界效应,反映在分解系数上为分解系数在边界处呈现假的突跳大系数,在后期的编码中对它分配过多的码字,降低了编码的效率。实验证明在进行卷积滤波之前先进行图像数据边界的对称延拓可减少边界失真。

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