三文动画在OGRE中应用的研究 第3页

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为了得到终点上的连续的导数，两个连续的曲线段的导数必须相对应，

形式如同等式若图片无法显示请联系QQ752018766  

和

导数连续性方程提供了两个未知数a_n和b_n的一个方程，所以这有一个自由度。就像Shoemake(1987)提出的，一个在控制点上的导数的好的选择就是使用一个“切线”的平均值，因此，，其中若图片无法显示请联系QQ752018766  

                 （2.1）

现在有了两个方程来决定a_n和b_n。一些代数式将写成这样

       （2.2）

因此，

举例说明，立方体插值法认为一个有序的四元数的常项是 。这是一个有序复数，它的乘积进行了交换并且通常是使用指数和对数形式。其中间项是也就是，

和

最后是，

有角的四边形插值法是

这可以被认为是若图片无法显示请联系QQ752018766  

在终点上的导数是被集中的差分，是所期望的左和右边的导数的平均值。

2.2.6球型线性插值法

给定在三文空间中的单元球体上的两个不同的点，是有可能在他们之间取样创建一条包含这两个点的弧线的，特别是，这种方法可以扩展为将四元数作为点，在四文空间中的超球面上。

构造这个方程，让 和 为超球面上的两个不同的单元顶点。插入值要求形式为

其中 和 是真实值函数并且其中 通常为一个单元顶点。而且 和 从而，

其中 而 是两个四元数单元之间的夹角。矩阵M是正数的定义，要求 。它能单做等式 其中 而且R是与第一列 和第二列 正较的。定义 ，前面的等式变为 。因此u是单元长度顶点而且能被记为 。解c₀域，

以上是对于一些状态角 。同样，而有对于一些状态角 有。

  的分界条件被用来得到1=，其要满足条件 和 。因此，

若图片无法显示请联系QQ752018766  。

  的分界条件被用来得到，其要满足条件 和 。因此，

。

将球形线性插值法缩写为slerp，它被定义为：

           (2.3)

其中 。

虽然 和 表示的是相同的旋转，但是 和 的值却是不同的。按照惯例在q₁选择符号σ，因此 （ 和 之间是锐角）。这中选择避免了由旋转插值法引起的额外的旋转。

对于单元四元数，slerp能被写成

                   (2.4)

无论是还是 。其中项 ，其中θ是q₀和q₁之间的夹角。时间参数能被引入夹角中，所以调整q₀为在q₀和q₁之间随时间变化建立的弧的统一形式，这就是， 。

Slerp的导数形式为等式(9.4)，它是等式(9.1)的一个简单的应用：

           （2.5）

它可以添加额外的旋转进插值法。甚至是在两个四元数之间插入最短的弧，它还能够获得目的四元数之前环绕着圆n次。在等式（2.3）的方程中还要求额外的一个到θ的状态角，

2.2.7插值算法在OGRE中的实现

在OGRE 的动画模块中有定义SimpleSpline与RotationSpline类，实现了样条的插值算法。变换信息的插值法在概念上是容易的。SimpleSpline用来对Translate和Scale进行插值，它实现Catmull-Rom样条类。样条是易弯曲的曲线。而样条在点间消除锐角形成平滑曲线。Catmull-Rom样条是普通Hermite样条的特例，对于Hermite样条，可定义线条的开始和结束点，还有分别位于开始和结尾的2条切线，Catmull-Rom样条将这些简化，只需要定义一系列的点，切线将自动创建。，使用Vector3 interpolate(unsigned int fromIndex, Real t)将告知样条，是否应为新增加的顶点自动计算切线。

RotationSpline用来对Rotation进行插值。旋转的插值法使用了平滑的四元数插入技术。就是把旋转当作是四元数，然后再插入四元数。与简单样条类类似，它讨论在样条上产生平滑插值。当简单样条类处理位置（我们考虑样条的普通场景）样条时，此类还为方位插值。理论上是相似的，除非我们现在是在4文空间而非3文空间。在定位的样条上，我们使用点和这些点的切线来产生样条的控制点。在这个类中，我们使用四元数和四元数微积分（例如每个点的方位和位置变换）。因正切是位置的导数，这与简单样条一样。在每个实际四元数(用原始四元数构成四元数正切)之间将产生有效的额外四元数。

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