小波变换及在图像压缩中的应用 第2页

第一章  绪 论

小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。

§1.1引言

上个世纪八十年代初，Morlet和Arens等人首次提出了“小波”的概念。小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。

小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Haar基来分解函数。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Haar基的局部性虽很好，但光滑性很差。小波基却兼有它们的优点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩与边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。

 小波分析正在处于迅速发展之中，从事小波分析的人越来越多，随着研究的进一步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成等方面。

§1.2图像压缩

在人类认识自然、改造自然的科学探索与实践中，信息扮演了至关重要的角色。特别是二十世纪中叶以后，随着计算机科学的迅猛发展，信息科学与计算机科学紧密结合，相互促进，其地位与日俱增。当今的人们已普遍意识到，未来的时代就是信息时代。

一般的，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最终要的信息媒体包括文字、图像、声音等人们能感知到的，或微波、激光等人们无法感受的。其中，图像是最常见的信息存载和表现形式，它不仅十分直观，而且内涵非常丰富。图像作为信息的载体具有数据量非常大的缺点。例如，一副512×512象素、8bit/pixel的灰度图像占256KB，一副512×512象素、8bit/pixel的彩色图像则占3×256＝768KB；一副2291×2190×8bit的气象卫星红外云图占4.90MB，而一颗卫星每半个小时可发回一次全波段数据(5个波段)，每天的数据量高达1.2GB。另外电视会议数字化的视频图像需要很宽的传输带宽以及巨大的存储容量。视频大致以每秒30帧的速率传输，将达到90Mbps的数据传输率 。由此可见，无论基于存储还是传输考虑，图像数据的压缩都是十分必要的。

当前，图像压缩被认为是一种“开放技术”。由于现代图像传感器不断提高空间分辨率以及电视广播标准的不断发展，图像压缩已经成为一种基本技术，在许多重要且性质不同的领域中扮演着主要角色，比如，电视会议、遥感（使用卫星成像进行天气预报和其他地球资源的应用）、记录文献和医疗成像、传真（FAX）、军事上的远程遥控车辆驾驶、空间中的危险废弃物管理等方面。简而言之，不断扩大的应用领域依赖于对各种图像进行有效的处理、存储和传输。

§1.3小波变换编码的优越性

长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换(DCT)作为主要的变换技术，并成功的应用于各种标准，如JPEG，MPEG-1，MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成8×8象素或16×16象素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声 。

小波变换是全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一 。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，至少具有如下优点 ：

(1) 小波变换本质上是全局变换，重建图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。

(2) 小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到精、由全貌到细节的观察习惯相一致，这是将WT(wavelets transform)与HVS(human visual system)的空间分解特性结合起来以改善图像压缩性能的有利条件。小波变换比经典的变换(DCT)更符合人的视觉特性，通过合理的量化编码产生的人为噪声比同样比特率的JPEG方法产生的影响要小的多。

(3) 小波变换式图像的时-频表示，具有时间-频域定位能力，并可实现图像中平稳成分与非平稳成分的分离，从而可对其进行高效编码。

因此，小波变换用于图像压缩时，除具有时-频局部化分析方法处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它具有易于与HVS相结合的潜力上。目前，基于小波变换的图像压缩算法JPEG2000已经成为新一代的图像压缩标准。这能够说明小波变换在图像压缩编码中的应用。

§1.4本文的主要工作

本文主要研究了小波的基本理论及在图像处理中的应用。讨论了小波的基本理论，小波滤波器的构造，小波分析在图像压缩中的应用。

第二章主要讨论了有关连续小波变换的几种不同定义，分析其联系，然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的半正交小波是是容许小波。研究了图形显示算法，推导了二文情形的图形显示算法，并实现了一文情形的图形显示算法。

第三章探讨了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，以此构造出几种小波。对包括新小波在内的各种滤波器进行小波编码的仿真实验，实验表明新小波的性能很好。

第四章讨论了有关图像压缩的一些问题，讨论了JPEG、WSQ、EZW等算法；最后采用小波分解与矢量量化结合压缩方法，在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，从而对误差采取加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制，以得到较好的恢复图像。

第五章对全文进行了总结并展望。