小波变换及在图像压缩中的应用 第5页

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第三章 小波基的选取及构造

本章研究了图像压缩中小波滤波器选取的原则，比较了正交小波与双正交小波性能、双正交小波中多种不同的滤波器的性能。文[26]中提出构造小波滤波器的一种新算法, 这种方法避免使用Z变换或Fourier变换, 是一种非常好的构造小波的方法，第二节介绍了构造小波的矩阵方法；第三节总结研究了如何确定滤波器长度与消失矩的阶数, 第四节构造了9/11,10/10,9/15小波；最后分别在EZW和WSQ算法下研究了各种小波滤波器的性能。实验表明新小波的性能很好。

§3.1小波基选取原则

S.Mallat 曾经说过，在数据压缩、信号去噪及快速计算等大多数小波应用中，主要利用小波基可以用较少非零小波系数去有效逼近实际函数的能力，选择小波基应该是以最大量的产生接近于零的小波系数为最优。我们知道小波基的这种能力主要依赖于其数学特性：消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性等 。本节从讨论小波基的这些性质出发，给出了选择小波基应该考虑的数学因素。⑴ 消失距

定义3.1  小波函数 具有m阶消失距(Vanishing Moments)，如果直接从消失距的定义可以推知，m阶消失距意味着小于m次的多项式与小波 内积作用的结果都是零。由数学分析的知识我们知道，一般光滑函数 都能用多项式来刻画(Taylor展开)，因此小波的消失距越高，光滑函数在小波展开式中的零元就越多(实际小波变换中，严格为零的小波系数也很少，但大多数小波系数都在零元附近，显然消失距越高，零元附近的元素比例就越大)。

以下有关消失距的结论是等价的：

① 具有m阶消失距，即。

② 若在处k次连续可导，且

③ 若在次k次连续可导，且

④ 这个条件也可以说成：在点有m重零点。

任意光滑函数可以用尺度函数在每一个尺度上作逼近，其逼近阶是，即，，且的小波系数具有衰减阶，即。

⑤ 多项式可以由尺度函数表示：，。

由此可见，小波基的消失距特性本质上决定了该小波逼近光滑函数的能力，因此在应用中，我们总希望选择消失距比较高的小波基。

⑵ 正则性

正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。通常用Lipschitz指数 来度量函数的正则性。

定义3.2  与Lipschitz指数 有关的定义如下：

I．函数在点具有局部Lipschitz指数 ()，如果存在K>0和一个n阶的多项式(这里n=)，使得，

II．函数在区间上具有一致Lipschitz指数 ()，如果对任意

，都具有局部Lipschitz指数，而常数K是与无关的。

若在点n次连续可微，则正好是Taylor级数展开的前n项，所以Lipschitz指数 描述的正好是函数与多项式的近似程度。具有一致Lipschitz指数函数又称为类函数。

小波基的正则性主要影响着小波系数重构的稳定性 。如果由小波系数得到如下的重构公式：若小波系数不发生任何改变地重构，则得到的 是精确的；但若小波系数被加上了误差 (例如不可避免的截断误差，信号压缩时的量化，信号去噪时的阈值化等都属于这样的情况)，则等同于重构信号 增加了 。若 是光滑的，则误差 是光滑误差。只要原始误差 不太大，则最终误差 也不会太大，即不会出现非正则性的奇异误差。从图像处理的角度来看，具有相同能量大小的光滑误差比非正则性误差在人的视觉上有更好的容忍度。Haar小波是典型的非光滑小波，其重构的信号存在“锯齿”现象，效果非常差。所以对小波 要求一定的正则性(光滑性)是为了获得更好的重构信号。

⑶ 紧支性

尺度函数是紧支的，意味着对应的滤波器只能取有限个，双尺度方程为容易知道的支集是，支集长度为N+1，正好是非零滤波器的个数。若高通滤波器取为，则由此构造的小波支集长度仍为N+1。

在实际应用中，我们对紧支小波比较感兴趣。我们不仅希望小波是紧支的，更希望小波是支集长度尽可能短的。如果 在 点有一个孤立的奇异点，而这个奇异点 落在某个 的支集内，则小波系数 可能会出现一个很大的值；若 的支集长度为N+1，如果N很大，就可能会有大量的小波系数值很大，这与实际中希望小波系数的值尽可能小相悖。还有一个原因在于短支集能够提高计算速度，这在应用中也是非常重要的。另外，小波的紧支性与消失距之间的关系也很密切。对于正交小波基来说，若 具有m阶消失距，则其支集长度至少为2m-1 。这就是说，当我们增加消失距时，就不可避免的增加了支集长度。若函数 的正则性比较高，可以选择高消失距的小波，若 的奇异点较多，可以选择短支集的小波。

⑷ 对称性

尺度函数和小波的对称性，反映在滤波器中，序列和是对称序列，也就是说()，对 也如此。在信号处理中滤波器的(反)对称性在频域上表现为(广义)线性相位。

对称滤波器组具有两个优点: 一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感, 另一方面对称滤波器组具有线性相位, 在对图像进行处理时, 线性相位是很重要的, 对图像边缘做对称边界延拓时, 重构图像边缘部分失真较小, 有利于获得高质量的重构图像。

但是Daubechies在《小波十讲》中已经证明了在紧支正交的实数小波中只有Haar小波是具有对称性。于是人们放弃正交性构造双正交紧支小波，因而在图像压缩中常用的小波为双正交小波。

§3.2构造小波滤波器的矩阵方法

有限长信号的Mallat算法等价于向量空间的矩阵变换，且变换矩阵是一个有限2-循环矩阵。文献[26]提出最小矩阵的概念(minimal matrix)，由此而得到的一些定义和定理可以推出一种新的构造小波滤波器的算法。这种方法避免使用Z变换或Fourier变换，使得小波滤波器的构造变得简单, 是一种非常好的构造小波的方法。

由于正交小波是双正交小波的特殊情形，所以我们只讨论双正交情形，并且假设滤波器长度均为有限长度的。

令序列对{}()和{}()为小波分解端的滤波器组，这一对滤波器组产生N阶的循环矩阵M。令{}()和{}

()为相应的重构滤波器组，这一对产生N阶循环矩阵 ，X是一个N文离散信号的列向量，N为偶数。信号X的周期延拓极记为 。

定理3.2.1  

(1) Y=MX是信号周期上的一次离散小波分解。它的前N/2个分量为低频系数，后N/2个分量为高频分量。

(2) X= Y是信号的重构。

推论 完全重构条件

＝ (对于任意k, l)               (3.2.1)

成立当且仅当 M=I，这里I为单位矩阵。

定理3.2.1表明离散小波变换确实是有限文向量空间上的线性变换。很明显，当小波变换是正交时，矩阵M也是正交矩阵。矩阵M需要足够大的文数，但是我们不清楚到底要多大。

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