小波变换及在图像压缩中的应用 第8页

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§4.3误差的度量

开发和实现有损图像压缩要有一种标准度量，用来衡量与原始图像相比较的重建图像的质量。重建图像对原始图像表征得越好，该度量的生成值越大。这样一个度量还应生成一个无量纲的数，它对于重建图像的小变化不太敏感。为此而常用的一个度量是峰值信噪比（PSNR）。若图片无法显示请联系QQ752018766

设原始图像和重建图像的像素分别表示为和（其中），我们首先定义两幅图像的均方误差（MSE）为：

相应的均方根误差为：

信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）分别定义为（单位为db）：

大家都熟悉PSNR，也易于计算，但与人类视觉系统所察觉到的误差只是有限的近似关系。这就是为什么较高的PSNR值意味着重建图像对原始图像表征的更好，但却不保证观察者会喜欢重建的图像。所以，使用观察者的主观评估衡量图像品质通常是更为恰当的。主观评估是通过向典型的观察者显示典型的解压缩图像并将他们的评估结果进行平均得到的。评估可能采取绝对等级或并排对比和的形式。

§4.4常见的图像压缩算法

1.   JPEG

JPEG是用于彩色和灰度静止图像的一种完善的有损/无损压缩方法。JPEG一词是联合图片专家组（Joint Photographic Experts Group）的缩写，是CCITT和ISO联合努力的结果。1987年辣月开始工作，1991年产生了第一个JPEG草案。JPEG标准取得了成功并广泛用于图像压缩，特别是在网页上。

JPEG的主要压缩步骤概述如下：

1）把彩色图像从RGB转换到亮度/色度空间（灰度图像跳过这一步）。人眼对亮度的小变化很敏感，而对色度则不是那么敏感，所以色度部分可以丢弃大量数据高倍压缩，不至于过多削弱图像的总体视觉质量。这一步是可选的，但是很重要，因为算法的其余部分只单独压缩各彩色分量。如果不变换彩色空间，则3个彩色分量都不能容忍大误差，压缩效果差。

2）通过从原始图像产生低分辨率像素来实现彩色图像的下采样（downsampling。灰度图象跳过这一步）。亮度分量不做下采样。下采样可以在水平和垂直方向都用2：1的比率（所谓2h2v或“4：1：1”采样），也可以在水平方向用2：1、垂直方向用1：1（2h1v或“4：2：2”采样）。因为这是在3个分量中的两个分量上完成的，因此2h2v把图像大小降低为原始图像的1/3+(2/3) (1/4)=1/2，而2h1v则降低为原始图像的1/3+(2/3) (1/2)=2/3。因为不涉及亮度分量，因此图像质量没有明显的损失。

3）把每个彩色分量按8 8像素分组，称为数据单元。如果图像的行数或列数不是8的倍数，则复制底行和最右边一列至所需的倍数。在非交织模式，编码器先处理完第一个图像分量的所有数据单元，再处理第二个分量的数据单元，最后才是第三个分量。在交织模式，编码器先处理3个图像分量的3个左上角（#1）数据单元，而后是3个数据单元#2，如此下去。

4）对每个数据单元应用离散余弦变换（DCT），产生一个8 8频率分量的映射，表示平均像素值和组内逐渐升高的频率变化，为丢失信息的关键步骤进行数据预处理。

5）把数据单元64个频率分量中每一个都除以一个单独的量化系数（QC），再四舍五入为一个整数。这正是信息不可挽回地丢失之处。QC大损失也大，所以高频分量通常有大的QC。64个QC中每一个都是一个JPEG参数，原则上可以由用户规定。实际上，绝大多数JPEG实现都是采用JPEG标准为彩色图像亮度和色度所建议的QC表。

6）各数据单元的64个量化后的频率系数用RLE和霍夫曼码联合编码。可以选用一种算数编码的变形即QM编码器来代替霍夫曼编码。

7）最后一步添加文件头和所有用到的JPEG参数，输出结果。压缩文件可为3个格式之一：（1）交换格式，文件中有压缩图像和所有解码器需要的表(主要是量化表和霍夫曼表)；（2）图像压缩数据的缩短格式，文件中有压缩数据，没有表(或只有几个表)；（3）表规定(table specification)数据的缩短格式。文件中只有表，没有压缩图像。第2种格式归于是用一对相同的编/解码器且内建了相同的表时有意义。第3种格式用于同一个编码器用同样的表压缩了多幅图像的情形。当需要解压缩时，图像跟在表规定数据文件的后面送给解码器。

JPEG解码器执行相反的步骤（因此，JPEG是一种对称的压缩方法）。

2.   WSQ指纹压缩

1924年FBI就开始以纸卡片上墨水印的形式收集指纹，今天他们已有大约2亿张卡片，占据了华盛顿特区J.Edgar Hoover大厦约一英亩的文件柜，而且，这些卡片还在以每天3-5万张新卡片的速度递增！显然，为了让这些收集品所占的空间减少，也为了具有自动搜索和分类的功能，需要对它们进行数字化。主要的问题是大小（以位计）。如果一张典型的指纹卡片以500dpi扫描，每像素8位，则数据量为10Mb。因此，数字化后收集品总的大小将超过2000TB。

因此，压缩是必须的。然而，无损图像压缩方法的压缩比是0.5。而为了减小庞大的数据量，需要约1bpp或更好的压缩。我们需要的有损压缩方法只是适度地退化图像细节，但不会在重建图像中引入人工假象。小的指纹细节如汗毛孔，在法庭上是可接纳的证据，而大多数有损图像压缩方法都涉及到小细节的丢失，因此不适用。但小波适合。如果涉及合理，有损小波压缩可以满足上述原则，进行高效压缩，保留重要的小细节或至少使这些小细节可辨识。

1993年由Bradley等人提出的WSQ（小波/标量量化）已经被FBI采纳为指纹压缩的标准，包括3个步骤：（1）离散小波变换，（2）小波变换系数的自适应标量量化，（3）量化指数的两步霍夫曼编码。

第一步是采用CDF9/7滤波器进行对称的离散小波变换（SWT）。它们是由7个和9个脉冲响应抽头的对称滤波器，具体数值如下表：

表4.4.1：WSQ采用滤波器

离散小波变换采用对称延拓，首先作用于图像的行和列，得到4 4=16个子带。然后以同样的方式将SWT运用到16个子带中的3个，将它们分别分解成16个更小的子带。最后一步是将左上角的子带分解成4个小子带，如图4.4.1。

较大的子带（51-63）包含图像的精细节和高频信息，稍后可以粗量化而不至于丢失任何重要信息（即分类和识别指纹所需的信息）。事实上，子带（60-63）全部舍弃。而子带（7-18）很重要，含有对应于指纹的脊的那部分图像频率，应当轻度量化。

64个子带中的变换系数都是浮点数，用a表示，被量化成有限个浮点数，即为 。WSQ编码器将变换系数a映射到量化索引p（一个整数，后面将被映射为一个霍夫曼码字）。可以把索引p看作一个指针，指向a所在的量化单元。WSQ解码器收到索引p后，将其映射为。与a相近但不等，因此WSQ丢失了图像信息。所有 值的集合是称为量化小波系数的浮点数的离散集。不同子带的量化要求不同，因此量化取决于一些可在子带间改变的参数。

图4.4.1：小波分解为64个频带

图4.4.2说明了子带k的量化阶的设置。参数 是零单元的宽度， 是其它单元的宽度。参数C的变化范围是[0，1]，它决定重建值 。比如，若C=0.5，则每个量化单元的重建值是单元的中心。式子(4.4.1)和(4.4.2)说明了WSQ编码器如何用参数和将变换系数[即系数在子带k的位置(m，n)]量化成索引（一个整数），以及WSQ解码器如何根据索引计算量化系数：若图片无法显示请联系QQ752018766

在FBI实际采用的标准中，C=0.44，而且根据不同子带变换系数的方差，按下面的步骤确定单元的宽度 和 ：

    第1步：令子带k的宽度和高度分别为 和 。计算6个量：若图片无法显示请联系QQ752018766

第2步：假设（0,0）位于子带左上角。我们用从到的子带区域估计子带的方差：其中代表区域中的均值。

    第3步：按式(4.4.3)计算参数 ：

                                (4.4.3)

其中q是比例常数，控制单元的宽度 ，从而控制整个压缩级。常数 的值为：注意，子带60-63的单元宽度为零。因此，这些包含最精细细节系数的子带被舍弃。

    第4步，设零单元的宽度为 =1.2 。 

图4.4.2 WSQ标量量化

WSQ编码器计算量化索引 ，然后将它们映射成254个码字（见表4.4.2）。这些值用霍夫曼码字编码（两次通过），然后将这些霍夫曼码字写入压缩流。量化索引可以是任意整数，但大都比较小，还有许多为零。因此表4.4.2中的码字分成3组：第1组由100个码字（从1到100）构成，用于索引游程为1到100个零；第2组码字从107到254，规定[-73，+74]区间的小的索引；第3组为6个转义码字（101到106），用于指示大的索引或超过100个零的游程索引。因为确有单个零的游程，因此不使用码字180[对应于索引=0]。转义码后面是（8位或16位的）索引原始值。

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