小波变换及在图像压缩中的应用 第9页

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表4.4.2量化索引和游程的WSQ码字

    若图片无法显示请联系QQ752018766最后一步是准备霍夫曼表。它们与图像有关，因此必须写入压缩流。FBI所采纳的标准规定应把子带分成3组，同一组的所有子带用同一个霍夫曼表。它简化了图像的渐进传输。第1组由低频和中频子带0-18构成。第2组和第3组分别包含高通细节子带19-51和52-59，而60-63被完全丢弃了。要准备两个霍夫曼表：一个用于第1组，另一个则为第2组和第3组准备。

通过统计表4.4.2中254个码字分别在组中各块出现的次数，可以得到霍夫曼码表。我们用统计结果来决定每个码字的长度，并构造霍夫曼码树。这需要通过两次（一次决定码表，另一次编码），与JPEG所用的霍夫曼代码的构造方式类似。

1.   EZW-嵌入式零数小波编码

EZW的全称是“embedded coding using zerotrees of wavelet coefficients”（用小波系数的零树进行嵌入式编码）。对图像进行二文小波变换之后，各子带之间的数据可以看成是一个树状的结构，如图4.4.3所示，各子带之间的箭头表示各频带之间的父-子依赖关系。树结构的意义在于，在由同一方向和相同空间位置上的所有小波系数组成的小波树中，各级分解子带中存在很大的相似性。实验表明：如果在粗尺度下（即图像分解的高层）小波系数相对于给定阈值T来说不显著，则在较细尺度（即图像分解的较低层）下的同一个空间位置上，相同方向的所有小波系数相对于T来说都很可能不显著。

图4.4.3：小波分解的系数对应关系

    对于一个阈值T，若小波系数x满足 ，则称x关于T是重要的系数；若小波系数x满足 ，则称x关于T是不重要的系数；若x是不重要的系数，并且它的所有子孙都是不重要的，则称x是关于T的零树根；如果x本身是不重要的系数，但它存在重要的子孙，则称x是关于T的孤立零点。对于给定的预制，EZW算法按照图4.4.4所示的扫描顺序依次处理小波系数。这可以保证当访问一个节点时，它的所有父节点都已经扫描过了。扫描从最低频率子带开始，依次扫描，和，然后来到第n-1层，再扫描，和。在算法进行到下一个子带之前，对每个子带都进行了充分的扫描。

    EZW算法通过多遍扫描编码图像，其中每一遍扫描包含以下的处理步骤：

    1.选择阈值

    对于L级小波变换，EZW算法应用一系列的阈值，，…来确定小波系数的重要性，其中，i为扫描次数。

初始阈值的选择方法如下

其中 是L级小波变换的变换系数，表示 的绝对值。

2.主扫描

按照图4.4.4所示的扫描次序，将小波系数与阈值 进行比较，输出下列符号表示已处理的元素：

P：正的重要系数（显著系数）

N：负的重要系数

T：零树根

Z：孤立零点

图4.4.4：系数扫描顺序

在扫描过程中，用一个主扫描表记录这些输出符号。第i次主扫描结束后，将输出符号为P或N的系数的相应位置加标记或将这些系数置为零，以免在下次主扫描时再对它们编码。

3.辅扫描

对主扫描表进行顺序扫描，对其中输出符号为P或N的小波系数进行量化。在量化系数之前需要构造量化器。量化器的输入间隔为，将其等分成两个量化区间，。若小波系数的输入区间属于区间，则输出量化符号“0”，重构值为1.25；若小波系数属于区间，则输出量化符号“1”，重构值为1.75。输出的符号“0”或“1”由一个辅扫描表记录。

4.重新排序

为便于设置第i+1次扫描所用的量化间隔，以提高解码的精度，对输出符号为P或N的数据重新排序。具体方法是，将幅值在中的数据排在幅值位于 中的数据之前。

5．输出编码信号

编码器输出两类信息：一类是给解码器的信息，包括阈值、主扫描表和辅扫描表；第二类是用于下次扫描的信息，包括阈值及第4步中重新排序过的重要系数序列。

小波系数编码的流程图如图4.4.5所示。 

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图4.4.5 小波系数编码流程图

§4.5基于小波树结构的矢量量化压缩算法

矢量量化是标量量化的推广，并且总是能取得优于标量量化的性能，它的操作过程主要分成：码书的产生（codebook generation）、编码（encoding）、解码（decoding）这三个步骤。通常来说，码书的产生都是在之前建立好的（off-line），而等到实际上要做时就能让编码端和解码端使用。

矢量量化编码的基本做法是将原图像切割成许多大小相同的小方格，并把它视为一个矢量。例如一张512 512的图像，可以把它切成128 128个4 4的区域。一个矢量包含的元素的个数为它的文数。

码书在矢量量化算法中扮演十分重要的角色，LBG算法是一种十分重要的码书生成方式。本文采用LBG算法生成码书，其具体步骤如下：

⑴ 给定初始码书并置k=0，设起始平均值失真，给定计算停止门限（1>>0）。

⑵ 根据最近邻域原则，利用码书中的码字把训练序列TS={}划分为N个胞腔，即

⑶ 计算平均失真与相对失真。平均失真即为其中；r=1,…,M，距离一般取为平方Euclid的距离。相对失真为若，则停止计算，当前码书即为设计好的最终码书，否则进行第⑷步。

⑷ 计算⑵中得到的各个胞腔的形心，以这N个形心构成码书 ，并置k=k+1，返回第⑵步。

其中，胞腔S的形心Y由下式给出

这里， 表示S中所含元素的个数。                      索引

图4.5.1：矢量量化编码流程图

本文采取小波分解与矢量量化结合的方式，先对图像做4层小波分解，如图所示：LL3单独编码；HL3中的每一个像素和其对应的子孙：HL2种的4个像素、HL1中的16个像素一起组成一个21文的矢量；同样LH3 中每一个像素和其对应的子孙：LH2种的4个像素、LH1中的16个像素一起组成一个21文的矢量；而HH3 中的每个像素和HH2中对应的4个孩子组成一个5文的矢量；而HH1可以完全放弃。

本文的主要研究对象是指纹图像。由于指纹图像的统计特性相似，分解后小波树也相似，所以可以采用多幅图像进行训练，得到通用的全局码书。这样的码书可以用于多幅图像，可以克服局部码书的缺点。采用LBG算法生成码书，并采用分裂法生成初始码书，在分裂的时候充分考虑到小波树结构的特点。因为人眼视觉特性对低频信息敏感，对高频信息不敏感，所以，分裂时对矢量的每个分量乘以不同的分裂因子，低频系数乘以大的分裂因子，高频系数乘以相对小的分裂因子，这样可以得到更加适合小波树结构的矢量，从而有望得到更好的效果。而在码书搜索的时候也充分考虑到小波分解的特性，首先考虑第一个分量，即矢量中最低频的系数，再考虑下面的4个次低频系数，最后再考虑剩下的系数。

图4.5.2：小波分解的矢量分割

现在考虑一幅256×256的8位灰度图像，设计码书大小N＝2048，即每个码书采用11位表示，不考虑LL1部分的压缩和之后的熵编码，压缩前所占比特数为256×256×8，压缩后的比特数为32×32×3×11＋32*32*8＝41984，计算得压缩比R约等于12.5：1。当然，如果考虑熵编码和LL1部分的编码，则可以得到更大的压缩比。下面给出分裂法与LGB算法生成码书的具体过程：

    步骤1：计算所有训练90；第辣至第二十一个分量可取0.6。

步骤3：以和为初始码字，用LBG算法设计仅含2个码字的码书。

步骤4：将码书中的两个码字和分别乘以何时的参数矢量，得到4个码字

    步骤5：以这4个码书为初始码字，用LBG算法设计仅含4个码字的码书，再对设计好的4个码字乘以适当参数进一步扩大码字庶母。如此反复，经过 次设计，就可得到所要求的含N个码字的初始码书。

步骤6：对N个码字的初始码书采用LBG算法训练，即可得到所需要的码书。

    在编码可以在一个区间上搜索码字，节省搜索时间；然后对后面的20个分量采取加权的误差来衡量。这样充分考虑了小波分解的特性，极大的提高了效率。

下面我们采用8幅256×256的8位的BMP指纹图像，生成两个全局码书。实验结果表明得到的重构图像质量较好。

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