第一章 差错控制编码的基本理论

1.1 差错控制方式

1、检错重发方式（ARQ）
2、前向纠错方式（FEC）
3、混合纠错检错方式（HEC）
4、反馈校验方式（IRQ）

1、检错重发方式（ARQ）。
     采用检错重发方式，发端经编码后发出能够发现错误的码，接收端收到后经检验如果发现传输中有错误，则通过反向信道把这一判断结果反馈给发送端。然后，发送端把信息重发一次，直到接收端确认为止。采用这种差错控制方法需要具备双向通道，一般在计算机数据通信中应用。检错重发方式分为三种类型，如图所示。图中ACK是确认信号，NAK是否认信号。
    （1）停发等待重发，发对或发错，发送端均要等待接收端的回应。特点是系统简单，时延长。
    （2）返回重发，无ACK信号，当发送端收到NAK信号后，重发错误码组以后的所有码组，特点是系统较为复杂，时延减小。
    （3）选择重发。无ACK信号，当发送端收到NAK信号后，重发错误码组，特点是系统复杂，时延最小。
 2、前向纠错方式（FEC）。
    发送端经编码发出能纠正错误的码，接收端收到这些码组后，通过译码能发现并纠正误码。前向纠错方式不需要反馈通道，特别适合只能提供单向信道的场合，特点是时延小，实时性好，但系统复杂。但随着编码理论和微电子技术的发展，编译码设备成本下降，加之有单向通信和控制电路简单的优点，在实际应用中日益增多。
3、混合纠错检错方式（HEC）。
    混合纠错检错方式是前向纠错方式和检错重发方式的结合，发送端发出的码不但有一定的纠错能力，对于超出纠错能力的错误要具有检错能力。这种方式在实时性和复杂性方面是前向纠错和检错重发方式的折衷，因而在近年来，在数据通信系统中采用较多。
4、反馈校验方式（IRQ）。
    反馈校验方式（IRQ）又称回程校验。收端把收到的数据序列全部由反向信道送回发送端，发送端比较发送数据与回送数据，从而发现是否有错误，并把认为错误的数据重新发送，直到发送端没有发现错误为止。
   优点：不需要纠错、检错的编译器，设备简单。
   缺点：需要反向信道；实时性差；发送端需要一定容量的存储器。IRQ方式仅适用于传输速率较低、数据差错率较低的控制简单的系统中。

1.2 差错控制编码的分类

1、按照差错控制编码的不同功能，可以分为检错码（仅能检测误码）、纠错码（仅可以纠正误码）和纠删码（兼有纠错和检错功能）。
2、按照信息码元和附加的监督码元之间的检验关系可以分为线性码（信息码元和监督码元满足一组线性方程式）和非线性码。
3、按照信息码元和监督码元之间的约束关系可以分为分组码和卷积码。分组码中，码元序列每n位分成一组，其中k个是信息码元，r=n-k个是监督码元，监督码元仅与本组的信息码元有关。卷积码中，编码后序列也编为分组，但监督码元不仅与本组信息码元有关，还与前面码组的信息码元有关。
4、按照纠正错误的类型不同，可以分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。
5、按照构成差错控制编码的数学方法来分类，可以分为代数码、几何码和算术码。其中代数码建立在近代数学基础上，是目前发展最为完善的编码，其中线性码是是代数码的一个最重要的分支

6、按照每个码元的取值不同，可以分为二进制码和多进制码。

1.3 检错和纠错的基本原理

     香农著名的信道编码定理指出：对于一个给定的有扰信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率P随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值。即可以通过增加冗余编码来降低误码率。
      纠错编码的的基本思想就是在被传送的信息码元中附加一些监督码元，在两者之间建立某种校验关系，当这种校验关系因传输错误而受到破坏时，可以被发现并予以纠正。
      这种检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。
以一组二进制码为例
      三位二进制码元有8个码组，如果用来表示天气的8种情况000（晴），001（雷），010（雹），011（阴），100（风），101（云），110（雨），111（雪），如果有一个误码，接收端以为是另一条信息，这种编码没有检错和纠错能力。
      如果这8种码组只用来传送4条信息，即只准使用其中的4种码组000（晴），011（阴），101（云），110（雨），如果有一位误码，不会在接收端产生误判，会检出错误。

 4个状态只用2位二进制码就可以表达，所增加的第3位，就称为监督码元。增加1位监督码元，只能检出1位误码，对于上例，如果有2位误码，将发生误判。如将000（晴）误传成101（云）。
      要抗多位误码，就要增加监督码元的个数，即增加冗余度。
码距与检错和纠错能力
定义：
      1、码重：码组中非零码元的个数。如001，码重为1；011，码重为2。
      2、码距：两个码组中对应码位上具有的不同二进制码元的个数定义为两个码组的距离（汉明距，简称码距），如111和000，码距为3，111和100码距为2，111和110码距为1。
      3、最小码距：对于许用的n个码组，各码组之间最小的码距称为最小码距若图片无法显示请联系QQ752018766,本论文免费,转发请注明源于www.751com.cn      对于如图所示的3位二进制码，如果8个码组可用，（000，001，010，011，100，101，110，111），各点之间最小相差1个边长，最小码距为1。
      如果只有4个码组可用，选（010，111，100，001）或（110，011，000，101），各点之间相差2个边长，最小码距为2。
      如果只有2个码组可用，分别选（111，000）（100，011）（110，001）（101，010），各点之间相差3个边长，最小码距为3。
码距与检错和纠错能力
      如上所述，一种编码的最小码距直接关系到这种码的检错和纠错能力，因此最小码距是信道编码的一个重要参数。在一般情况下，对于分组码有如下结论：
   （1）在一个码组内检测个e误码，要求最小码距  

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