众所周知,不等式是数学中不可缺少的工具之一.有许多不等式在数学研究中有着重的作用,它对于不同类型的不等式,所运用的原理及方法也不一样.灵活、巧妙地选择证明方法可以让学生在证题中达到事半功倍的效果.本文主要是通过利用函数的性质、微分学、积分学的知识来探究不等式的证明方法,进而介绍了它们在不等式证明中的一些具体应用,如在构造函数的背景下运用函数的单调性、函数的极值和最值、微分中值定理、定积分,从而达到有效地解决不等式中的证明问题.此外本文还简单地介绍了证明不等式的其它方法,如用幂级数、二次三项式、一些著名的不等式.
1. 利用函数的性质证明不等式
1.1 用函数的单调性证明不等式
(1)函数的单调递增和单调递减
若当
(2)函数单调递增和单调递减的充分条件:若函数
小结 此证法多用于证明具体函数的不等式,证法的步骤是:
(1) 作辅助函数
(2) 求
(3) 判定
(4) 求出
(5) 用单调性定义证明所需证明的不等式.
例1 证明不等式:当
解:下用函数的单调性证之.为此先作变量代换,令
令
因
显然当
1.2 用极值证明不等式
定义:若函数
则称函数在点
(1) 用自由极值证明不等式
要点 若求得
反之,要证明关于函数
只须证明函数
例2 求证
证 在区域
令
及
这表明
所以
(2) 用条件极值证明不等式
要点 若求得
例3求
解 设
令
因为
故
两边同时平方,并用