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不解等式证明和求解的方法 第2页

更新时间:2008-11-26:  来源:毕业论文

不解等式证明和求解的方法 第2页

 用单调极限证明不等式

要点 时, ↗(或严↗),  [以上条件今后简记作 ( ) 时,则  ( ) [  ( )] 对于递减或严格递减,也有类似结论.利用这一原理可以证明一些不等式.

4证明:

.

    时,不等式自明.只须证明 的情况.为此,只须证 时, 即可.事实上:

1)当 时,

)

(应用Lagrange公式)

       〔当 , , 时,                                                    .

2

时, .证毕

1.4  用函数的凸凹性证明不等式

设曲线 在区间 上处处有切线,若曲线上每一点都在切线的上方则称曲线在 上是凹的,若曲线上每一点都在切线的下方,则称曲线在 上是凸的.

在高等数学中常把曲线(函数图形)是凹的函数称为凸函数,而把曲线(函数图形)是的凸函数称为凹函数.

值得注意的是凸、凹函数的曲线(函数图形)的凹、凸性正好与凸函数、凹函数的凸、凹名称正好相反.

凸函数与凹函数也可如下定义:对

若总有 ,则 内是凸函数;

若总有 ,则 内是凹函数;

常由函数 在区间 上的二阶导数 的符号,判定函数曲线的凸凹性:

若在该区间  ( ),则曲线 上是凹的(或凸的).

因而在 内,若 ,则函数 的图形在 内是凹的(如右图),位于区间[ ]中点 处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标,即有

                          1

其中 内任两点,等号仅在 时成立.

同样,若 ,则有

(等号仅在x 时成立).      2

由上两式可知:若所证不等式为二元不等式,且其一(两)端为两点处的函数值的平均值或(和)为两点处中点的函数值,就可试用以上两式证之.

5 证明  ( ).

证:所证不等式右端出现 两点处中点 的函数值 .因而可试用(1)证之.事实上将所证不等式两端除以2,变形为


显然左端为函数 两点处的函数值 .如能证 (0, )上为凸函数,或其曲线是凹的,则所证不等式成立.

事实上 .由(1)式,得到

 

2.  用微分学证明不等式

2.1  用拉格朗日中值定理证明不等式

(拉格朗是中值定理) 函数满足下条件:

1 在闭区间 上连续;

2 在开区间 上可导;

则在 内至少存在一点 ,使得

所证不等式一边(单向不等式)或中间部分(双向不等式)为或可公为有限增量 的形式,则可用该定理证之,且证明构造的辅助函数就是 .将等式

右端进行适当放大或(和)缩小,去掉含 的项,即可得到所要证的不等式.这里的关键在于找到合适的函当选 与选取恰当的区间 .

此证法是证明区间上成立的函数不等式用得较多的方法,它既可证明具体函数不等式,也可证明抽象函数不等式.

用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤:

(1)设辅助函数 并确定 施用拉格朗日中值定理的区间 ;

(2) 上施用拉格朗日中值定理;

(3) 利用 之关系,对拉格朗日公式进行加强不等式.

6 证明当 时,

分析 注意到 ,可构造函数的改变量 ,则相应自变量的改变量为 ,所证不等式等价于

可考虑用拉格朗日中值定理证明.

,易知 上可导,由拉格朗日中值定理,存在 使

.

可得

                     

7.证明: .

证:令 , ,相当于 ,不等式可写成

.

. ,故问题在于证明

     ( ).

乘之,问题化为证明

  

,只须证明

  ( ).

( ),故此 .

 

2.2  用泰勒公式证明不等式

泰勒公式:若函数 上存在直至连续 阶连续导函数,在 内存在 阶导函数,则 至少存在一点 使得

时,该公式称为马克林公式,即:

.

泰勒公式的结构知,一般在不等中出现高阶导数及其在某点的数值或已知函数的上、下界;或在某些点的函数值已知时,可考虑用泰勒公式证之.

确定用泰勒公式后,下一步是选择展开点.一般在出现函数值或导数值的点上展开,且展成比题中出现的导数最高阶数低一阶的泰勒展开式,然后利用题设中的高阶导数的大小或其界对展开式放缩,证明欲证的不等式.

8.设当

证:由一阶泰勒公式,对于

               <

上式右端 当时达到了最大值4,故有

                   

2.3  用柯西中值定理证明不等式

(柯西中值定理)若函数 满足下条件:

(1)       上连续;

(2)       可导;

(3)       不同时为零;

(4)       .

则存在一点 ,使得

所证不等式为(或可化为)形如

             

              

的不等式,即为或可化为两不同类型函数的差值比,可试用柯西中值定理证之.

特别当 时,为证 ,只需证

.即证

9   证明不等式

                      .

    注意到 , ,因为 ,所证不等式可化为两不同类型函数的差值比的不等式

,即 .

于是令 .显然它们在 上满足柯西中值定理之条件,故存在 ,其中 ,使

.

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