不解等式证明和求解的方法 第2页
用单调极限证明不等式
要点 若
例 4证明:
证 当
(1)当
(应用Lagrange公式)
(2)
故
1.4 用函数的凸凹性证明不等式
设曲线
在高等数学中常把曲线(函数图形)是凹的函数称为凸函数,而把曲线(函数图形)是的凸函数称为凹函数.
值得注意的是凸、凹函数的曲线(函数图形)的凹、凸性正好与凸函数、凹函数的凸、凹名称正好相反.
凸函数与凹函数也可如下定义:对
若总有
若总有
常由函数
因而在
其中
同样,若
由上两式可知:若所证不等式为二元不等式,且其一(两)端为两点处的函数值的平均值或(和)为两点处中点的函数值,就可试用以上两式证之.
例5 证明
证:所证不等式右端出现
显然左端为函数
事实上
2. 用微分学证明不等式
2.1 用拉格朗日中值定理证明不等式
(拉格朗是中值定理) 若
(1)
(2)
则在
所证不等式一边(单向不等式)或中间部分(双向不等式)为或可公为有限增量
右端进行适当放大或(和)缩小,去掉含
此证法是证明区间上成立的函数不等式用得较多的方法,它既可证明具体函数不等式,也可证明抽象函数不等式.
用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤:
(1)设辅助函数
(2) 对
(3) 利用
例6 证明当
分析 注意到
可考虑用拉格朗日中值定理证明.
证 令
由
即
例7.证明:
证:令
令
用
因
但
2.2 用泰勒公式证明不等式
泰勒公式:若函数
由泰勒公式的结构知,一般在不等中出现高阶导数及其在某点的数值或已知函数的上、下界;或在某些点的函数值已知时,可考虑用泰勒公式证之.
确定用泰勒公式后,下一步是选择展开点.一般在出现函数值或导数值的点上展开,且展成比题中出现的导数最高阶数低一阶的泰勒展开式,然后利用题设中的高阶导数的大小或其界对展开式放缩,证明欲证的不等式.
例8.设当
<
上式右端
2.3 用柯西中值定理证明不等式
(柯西中值定理)若函数
(1) 在
(2) 在
(3)
(4)
则存在一点
所证不等式为(或可化为)形如
或
的不等式,即为或可化为两不同类型函数的差值比,可试用柯西中值定理证之.
特别当
例9 证明不等式
证 注意到
于是令