不解等式证明和求解的方法 第3页

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即有           .

当 时， ，因而得到

  .

注意 （1）若忽略 这一条件可能会造成把区间选成 的错误.

（2）若由定理直接得 这是错误的.错在等号不能直接得出.因为 ，这里没等号，因此等号必须单独验证.

例 10  证明不等式

       )   .

证明 令 , .归结证明   注意到 利用柯西中值定理有

  .

下证          

因 ，故 ，

从而            ，

即              .

2.4  用导数的定义（或可导的充要条件）证明不等式

定义：设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记为 .

例11  证明下述命题：

命题  设函数 在上连续，在 内可导，若 在 上单调增加（减少），证明：（减少），证明： , .

证：设 在 上单调增加，则 、 ，当 时,有 ，于是有

  ;    ,

故      ；

，

因 在 内可导，故 ，所以

.

在 上单调减少时，同法可证 .

2.5  用导数的大小即利用不等式定理证不等式 

   不等式定理：如果

         1） 、 在 内有 阶导数；

         2） ；

         3） ，且 时，  [或 ]，则当 时，

 [或 ].

不等式定理是利用导数大小证明不等式的依据值得注意的是要满足定理中初始值相等： 这一条件，否则结论不一定成立.

例12      证明不等式 .

证明  令 ，则

.

因为 ，所以

而 故当 时，有

                   即       .

3. 用积分学证明不等式

本节讨论的是利用积分学知识来研究一些证明不等式的方法，这些方法主要适用于证明那些含有积分的不等式.

3.1  用定积分定义证明不等式    

定积分的定义：

定义1  设闭区间 内有 个点，依次为

，

它们把 分成 个小区间 这些分点或这些闭区间构成对 的一个分割，记为

或 .

小区间 的长度为 ，并记

                        ，

称为分割 的模.

定义2 设 是定义在 上的一个函数,对于 的一个分割 ,任取点 并作和式

                    .

称此和式为函数在 上的一个积分和，也称黎曼和.

定义3 设 是定义在 上的一个函数, 是一个确定的实数.若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 的任何分割 ，以及在其上任意选取的点集 ，只要 ，就有

                   ，

则称函数 在 上可积或黎曼可积；数J称为 在 上的定积分或黎曼积分，记作

                        .

例13 设 在 上连续,且单调减少.证明当 时, .

证明 因为 在 上连续,故在 上可积,因而在 上可积, 将分成 等份,且取各区间的右端点 为 ,则

.

又将 分成 等份,取各区间的右端点,则 ,则

               

因而           .

    因 在 内单调减少,由 ,得到 .于是当 时,有

              

             = .

3.2  用定积分的几何意义证明不等式

定积分的几何意义：对于 上的连续函数 ，当 ， 时，定积分 的几何意义就是该曲边梯形的面积；当 ， 时，这时 是位于 轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称这为“负面积”；对于一般非定号的 而言（图一），定积分 的值则是曲线 在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和.

例14  设 是 上单调增加的连续函数, ,   ,又 是它的反函数.试用定积分的几何意义说明:对任意的 ,

总有

                      ,

并进一步指出等号成立的条件.

证明：若 ，结论显然成立，故设 .

 

（1）当 时，如图二所示，由定积分的几何意义，有

=曲边梯形 的面积+曲边梯形 的面积

                    =矩形 的面积= .

   （2）当 时，如图三所示，由定积分的几何意义有

[ ]+曲边梯形 的面积

                        > +矩形 的面积= .

(3) 时,如图四所示.由定积分的几何意义,有

=

= +曲边梯形 的面积

> +矩形 的面积= = .

由(1)知, 需要完整内容的请联系QQ752018766时,所证的不等式中等号成立.Young不等式

 

 

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