粉状铵梯炸药生产智能控制系统的应用研究 第8页
图4-1隶属函数分布曲线
3）模糊集合的表示方法
模糊集合通常是某个论域的子集，所以在讨论模糊集合时，一般也称模糊
集合为模糊子集。模糊集合由于没有明确的边界，因此在普通集合中所用
的枚举法和定义法都不能用于描述模糊集合，它只能用隶属函数来描述。
当论域U中的元素为有限时，模糊集合经常用到的表示方法有向量表示
法、序偶表示法和单点表示法。其中，单点表示法也称Zadeh法．它是用
单点来表示模糊集合，这里的单点指的是形如u/x的不仅给出了元素，而
且同时给出了该元素的隶属度的描述方法。
2.3.2.2模糊关系和模糊矩阵
模糊关系是普通关系的推广。普通关系是描述元素之间是否有关联，而模
糊关系则是描述元素之间关联程度的多少。
设X、Y是两个非空集合，则直积
X×Y={(x,y)x∈X,y∈Y}20
中的一个模糊子集R称为从X到Y的一个模糊关系，记作X ??R→Y
~
模糊关系R~
由某隶属函数
A
u:X×Y→完全决定。有序对（x,y）的隶属度为
u(XY)
R
×，它表明(x,y)具有关系R~
的程度。
上述定义的模糊关系又称为二元模糊关系，通常所谓的模糊关系R~
，
一般是指二元模糊关系。当论域X、Y都是有限集时，模糊关系R~
可以
用模糊矩阵R表示。设X={
n
xxxx
123
,,}，Y={
n
yyyy
123
,,}模糊矩阵
R的元素
ij
r表示论域X中第i个元素
i
x与论域Y中的第j个元素
i
y对于
关系R~
的隶属程度。例如集合A和B它们分别是:A={1,3,5},B={2,4,6}则
AxB={(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)}。如果只取序偶（3
2），（5，2）和（5，4）组成集合R，很明显R是一种关系，即A的元素
比B的元素大。
2.3.2.3模糊集合的运算
模糊关系是定义在直积空间上的模糊集合，而模糊关系又可用模糊矩
阵来表示，它们都遵循一般模糊集合的运算规则。模糊集合的运算有代数
运算和逻辑运算两大类。在进行模糊集合运算时，要求参加运算的集合的
元素量要相等。
1．模糊集合的代数运算
代数和
对于A和B，其代数和用A+B来表示，其意义为：
u(X)u(X)
AB
+,u(X)u(X)
AB
+≤1
1,u(X)u(X)
AB
+>1
代数积
对于A和B，其代数积用A?B表示，意义为：
u(x)u(x)u(x)
ABAB
=?
?
2.模糊集合的逻辑运算
“并”运算
对于A和B,“并”运算用A∪B表示，其意义为：
u(x)=
A∪B
u(x)u(x)
AB
∨=max(u(x),u(x)
AB
)
“交”运算
=
+
u(X)
AB21
对于A和B,“交”运算用A∩B表示，其意义为：
u(x)=
A∩B
u(x)u(x)
AB
∧=min(u(x),u(x)
AB
)
“余”运算
对于A,“余”运算用A
c
表示，其意义为：
u(x)1u(x)
ACA
=?
2.3.2.4模糊逻辑和模糊推理
[31]
数理逻辑是建立在(0,1)二值逻辑基础上的，在计算机技术中已显示
出强大的生命力。然而在研究复杂大系统时，实现起来就很困难。这不仅
因为这类系统涉及到的参数较多，而且因为往往还具有模糊性的特点。模
糊逻辑正是为了适应研究这类复杂系统的需要而产生的。
模糊逻辑的真值x在[0,1]中连续取值，x越接近1，说明真的程度越大。
可见，模糊逻辑实质上是无限多值逻辑。应用模糊理论，可以对用模糊语
言描述的模糊命题进行符合模糊逻辑的推理，下面介绍在模糊控制中普遍
采用的假言推理和模糊条件语句。
I)"If A then B”语句
这是条件命题，通常用A→B符号表示.典型的语句如“若她是男生，
则她就不会这么矮”。在这个语句中，条件即使是假的，也不可能否定结
果，因为有的女性长得也很高。所以“If A then B”语句有逻辑公式:
A→B=A∨B
也可以认为对于此语句:A（x）,x∈X则在X×Y上的二元关系
A→B特征函数为(A→B)(x,y)=(1-A(x))∨(A(x)∧B(y))
扩展到模糊逻辑中，设有论域X,Y，若存在X×Y上的二元模糊关系
R~
=AB~
~→
则关系R~
的隶属函数为:
u~(x,y)(1u~(x))(u~(x)u~(y)
RAAB
=?∨∧其中A∈X，B∈Y
2)“If A then B,else C”语句
它可以用(A-B)V(A-C)在模糊逻辑中，若存在论域X,Y,A∈X,B,C∈Y,
则二元模糊关系R~
=(AB~
~→
)∨(AC~
-C~
)的隶属度函数为
u~(x,y)[u~(x)u~(y)][(1u~(x))u~(y)]
RABAC
=∧∨?∧
3)"If A and B then C”语句22
在模糊控制中，大量应用这种语句。这是因为在控制中要多考虑多种
输入量的原故。
它的逻辑公式为R~
=(AB~
~∧
)→C~
其隶属函数为:u~(x,y,z)u~(x)u~(y)u~(z)
RABC
=∧∧
很明显，三元模糊关系R~
是等于三个模糊量AB~
~、
、C~
的隶属函数的交。
2.3.2.5模糊推理
推理就是根据一些已知的命题，按照一定的法则推出一个全新的命题
的过程，是人类思文的主要形式之一。现实生活中很多问题都带有模糊性
用传统的形式逻辑和数理逻辑都无法解决此类问题。在这种背景下一种全
新的推理形式一模糊推理被提出来了。
模糊推理是一种近似推理，所谓近似是指它赖以推理的规则一般都是从大
量的实验中得到的，它往往是统计的结果。这种结果的次数越多，所得的
蕴涵关系就越准。根据推理所用蕴含关系式的不同，模糊推理有下面几种
常见的形式:Mamdani推理、Larsen推理、Tsukamoto推理、Takagi-Sugen
推理。其中Mamdani推理法是一种在模糊控制中普遍使用的方法。
2.3.3模糊控制的基本工作原理
模糊控制是以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一
种计算机数字控制。控制系统的结构如图2-5示
[22]
:
A/D
计算
控制
变量
模糊
化处
理
模糊
推理
决策
逆模
糊化D
/A
检测装置被控对象执行机构
给定值
被控对象
模糊控制器
图2-5模糊控制系统框图
一般地，模糊控制系统的设计包括三个方面的内容:选择描述输入输
出变量的词集;定义各个模糊变量的模糊子集;建立模糊控制规则。其中控
制规则的设计是模糊控制系统设计的关键。模糊控制规则是基于控制领域23
内的专家和操作人员经验的语言描述。
1.模糊化
把输入误差e和误差变化ec由精确量到模糊子集的这一转化过程称
为模糊化。
设E,EC分别表示语言变量“误差”及“误差变化”，通常E、E
在各自的论域中取7个语言值:
负大负中负小零正小正中正大
NB NM NS 0 PS PM PB
U表示语言变量“控制量”，U在其论域中的语言值可依系统的特点选
取。模糊语言值的隶属函数一般依经验根据实际情况给定。
模糊化过程分两步:
(1)把输入值映射到相应论域上
若输入信号的物理范围为[
minmax
e,e]对应的论域为
{-m,-(m-1),…,m-1,m},相应的量化因子为k=2m/(
minmax
e,e)，对于某一输
入信号e′映射到论域上的点为:m′=int(k?e′),int()—表示取靠近·的整数
(2)把论域中的各点模糊化为模糊子集，有两种方法:
第一种是:在论域上已定义的模糊子集中，如果该点对某一子集隶属
度最大，则选择这个子集作为此点模糊化的模糊子集。
第二种是:把论域中的某一点模糊化为这样一个模糊子集，该点对它
的隶属变为1，其余均为0。
2.模糊控制规则的确定
模糊控制规则表现为一组模糊条件语句，在条件语句中描述输入输出
变量状态的一些词汇的集合，称为这些变量的词集。在一般模糊控制系统
中以误差(输出与给定值之差)和误差的变化作为条件语句的输入变量;控
制量或控制量的增量为输出变量。如前所述，通常以下面七个词汇来描述
它们的状态:
{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}
或用英文字头缩写为:
{NB,NM,NS,Z0,PS,PM,PB}
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