定义的熵
特殊值
定义的熵@1
定义的熵@2(取 )
定义的熵@3
【0.4，0.5】 0.45 0.1 0.928
【0.3，0.5】 0.4 0.2 0.8513
【0.5，0.5】 0.5 0 1
【1 ，0】 0.5 0 1
【0 ，0】 0.5 1 0
显而易见，@3定义的熵最符合描述模糊信息的信息情况。
模型二：考虑未知信息 时的情况。定义改进的Vague熵所满足的性质，在定义域为 的Vague集上，模糊熵 满足Vague集模糊熵公理化定义：
性质1 当 退化为普通集，即 时， 的模糊熵最小且等于0，即 ；
性质2 当Vague集 有 ，即 时，此时Vague集的模糊熵取到最大值1，等价于 ；
性质3 一个Vague集的模糊熵和它的补集的模糊熵是相等的。 是 的补集，则 ；
性质4 在未知度相同的情况下， 与 越接近则Vague集的模糊熵 越大。即对Vague熵 和 ，当 时，若 ，则 ；
下面自定义熵，使之符合上述公理化定义的约束条件：已知一个Vague值 ，称：
，
满足定理化性质。
证明：（1） ，则由于 ， ，所以可以
与 联立可得 。
（2） ，则 易得
（3）很明显， 时， ；
（4） ，又因为 ，所以 推出 ，而 在 上为增函数，所以 ；
将公式推广到离散空间点 时，可将Vague熵写成：
，
当 连续时也可以用积分得到相应的性质。
三、论文总结：
本文是从大量文献中学得关于模糊熵，Vague熵的一些专家定义的方法，并自己创立的一套关于在不考虑未知因素 和考虑未知因素 两种情况来定义的熵。通过这此论文，我明白了，科学其实是无止境的，也终于明白了无数数学家对数学研究之不易，科学就是需要人不断地努力铸就的高峰，没有艰辛的付出不会得到永恒的真理。
四、参考文献：
【1】、《Vague集的熵》 刘云生，黄国顺 第27卷 第11期
【2】、《关于Vague集的模糊熵》 黄国顺 刘云生 文章编号1002-8331-（2005）33-0048-03
【3】、《模糊信息的度量与编码》 杜凯 硕士学论文
【4】、《信息论基础》 王海燕 东南大学出版社
【5】、《基于Vague嫡的Vague集相似度量》 黄国顺 刘云生 文章编号:1000-1220(2008)01-0139-06