模糊熵性质与应用
要：熵是模糊变量的一个重要的数字特征，用来度量模糊变量的不确定性，是处理模糊信息的重要工具。模糊集用来描述元素无法明确界定是否属于给定集合的集合类。模糊变量则是取值于这种具有不确定性的模糊集的变量。本文主要介绍模糊集模糊变量模糊熵简单的定义及其性质，文中最后通过例子具体介绍模糊熵的实际应用。
关键词：熵 模糊变量 模糊集
1. 模糊集与模糊熵
1.1清晰集与模糊集
集合的概念是逻辑和数学中最基本的概念之一。集合中非常重要且基本的性质为矛盾律和排中律，满足矛盾律和排中律的集合就是清晰集。即一个元素可以明确的表示属于或是不属于这个集合，任意选定的元素可以被明确界定，对应于数理逻辑就是一个命题要么是真的要么是假的。但是在实际客观事务的描述中很多集合和命题不满足这种特性，如“水很热”，显然这个集合中的元素无法被明确界定，这是因为“热”和“不热”之间不存在明确的分界。 定义函数 为模糊集 的隶属函数，表示 中的元素属于模糊集 的程度，隶属度越大，表示该元素属于集合 的程度就越大，隶属度为0表示该元素完全不属于集合 ，隶属度为1则表示该元素完全属于集合 。
集合 为 的支撑
集合 为 的内核。易知支撑和内核均为清晰集。
运算规则：
给定全集 上的模糊集 和 ，则它们的交集 的隶属函数为
并集 的隶属函数为
1.2 模糊集的熵
随着模糊集理论的发展，如何度量模糊集的不确定性越来越引起人们的关注。模糊集的不确定性在于集合中的元素不能被明确界定。因此，这种无法明确界定的程度越高，相应的不确定度就越大。我们用模糊熵来表示模糊集的不确定度。
在定义模糊集的熵时，一般认为其需要满足三个公理条件。
1. 中的清晰集且只有清晰集的模糊熵为0
，当且仅当 为 中的清晰集。
由于我们认为模糊集的不确定性取决于其元素的无法明确界定，因此，当模糊集 退化到清晰集的时候，我们自然认为其模糊熵为0.
2.锐化： 上的一个偏序关系，用 表示模糊集 是模糊集 的一个“锐化”，意味着模糊集 的不确定度要小于模糊集 ，即有 。
若 ，则有
3.模糊熵 达到最大值当且仅当模糊集 具有最大的不确定度。元素 同等程度的属于模糊集 和其补集 ，即 时，元素 对于 具有最大的不确定度。相应的，若 中的所有元素的隶属度都为 ，那么这样的模糊集被认为具有最大的不确定度。
2. 模糊变量与模糊熵
模糊变量的概念是用来描述模糊事件或模糊约束。若 为可能空间 到实直线 上的函数，则称 为可能性空间 上的模糊变量，
相应的集合 称为 的内核
称为 的支撑
同样可以导出隶属函数
我们可以知道，通过模糊变量的隶属函数可以导出具有相同隶属函数的模糊集，另一方面任何一个正则的模糊集都可以导出一个具有相同隶属函数的模糊变量。尽管模糊集和模糊变量在数学表达方式上具有这样的一致性，但是，两者之间仍存在着本质上的差别。模糊集的隶属函数刻画了集合与其表示的具有不确定性的概念之间的相容性，即其中的元素属于该集合的程度。然而，模糊变量及可信性理论涉及的则是相反的问题，即在模糊变量的隶属函数已知的情况下，特定事件发生的可能性。
模糊变量和模糊集内在含义上的差别导致了其在不确定性方面呈现不同的性质，这主要体现为模糊集的不确定性仅仅体现在其元素无法明确界定，而模糊变量则不同，即使其支撑中的元素都具有隶属度1，这样对于特定事件发生的可能性为1，尽管如此，该事件也不一发生，也就是说仍然存在着一定的不确定性，也就是说模糊变量的不确定性还依赖于其支撑中的元素的多少，即模糊变量取值范围的大小。模糊变量的取值范围越大，可能发生的事件的数量就越多，相应的不确定性就越大。这样由于模糊变量蕴含的不确定性具有自身的特点，在确定具有什么样隶属函数的模糊变量其不确定度最大时，也和模糊集情形时有所不同。在模糊集情形时，也和模糊集情形时有所不同。在模糊集情形时，全集中的所有元素的隶属度都为 时，这些元素在属于这个集合和不属于这个集合两方面同具有相同的程度，因此这624