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逢山修路问题数学建模

更新时间:2010-2-24:  来源:毕业论文

逢山修路问题数学建模
一,摘要
本题旨在通过对复杂地形的探索与分析,以及对资金费用的考虑,探索出一条逢山开路的最佳路线。最终找到一条最优路线建设方案,使花费最低。
我们的主要思路如下:从山脚经居民点到矿区,需要经过一个峡谷,并且有一条小溪,到达居民区,之后经过一条山脉到矿区。经过小溪的地方我们要修桥,因为考虑到山的坡度问题以及修桥的高价费用问题,我们需要寻找一条最适路线,由于公路有坡度的限制( ),我们必须选择可行的一条道路通向山谷,并且尽量花费最少。修桥的地方我们也要考虑到坡度的可行性,以及结合水面最宽处与峡谷深度的那个函数,找出河面比较窄的点来修桥达到资金花费最少。之后考虑山峰修一条隧道,由已知条件,我们应尽量控制隧道长度在300米以内,因为超过300米花费就是一倍!通过对隧道长度,公路坡度,以及矿区高程的因素的考虑,我们选定了一条路线通过修隧道过山峰,再至矿区。
最后,我们通过用matlab作图,拟合函数计算路线长度,以及应用公路学以及城市规划的一些原理分析,提出了一种花费最小化的可行做法
关键词:隧道,桥,高程,坡度,资费
二,模型假设
我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑,寻找一种可行的路线同时又较为省钱,为这个问题的最佳方案。为简化该问题,我们先做出几点假设:
(1)、假设山体充分光滑。
(2)、不考虑路面宽度。
(3)、溪流的的最深处在x+y=4800,(2400≤x≤4800)上,且该直线为溪流的中线。
(4)、桥梁的长宽度为溪流的宽度。
根据对整个地形图及公路走向的认识,我们决定将公路分为四段来修:一是从起点(0,800)到小溪流,二是修桥及到居民点一端,三是从居民点到山峰这段,最后就是越过山到达矿区。

我们先建立一个空间三文的直角坐标系,x、y坐标同题目中一致,z坐标则表示对应给出的x、y坐标的点的高程。根据题中所给数据,我们将该地区的大致图形绘制如下:
下面是路段工程成本及对路段坡度α(上升高程与水平距离之比)的限制如下表:

工程种类 一般路段 桥梁 隧道
工程成本/(元/米) 300 2000 1500(长度≤300米)
3000(长度﹥300米)
对坡度的限制 α<0.125 α=0 α<0.100
第一段公路属于一般路段,由于这一段路的终点是桥梁,故要确定这一段路首先要确定桥梁的具体位置。
三,模型设计
(一)、桥梁位置的选取
我们已先假设溪流的中心连线在o-xy面上的投影为直线段x+y=4800(2400≤x≤4800)上,先假设桥梁的长度为小溪的宽度,小溪的宽度与(溪流最深处的)x的坐标关系可近似表示为:
由此可知,小溪的宽度随x的增加呈递增的关系。再从小溪左右公路对坡度要求,我们暂时确定小溪的位置在点 之间,因为小溪的直线方程从 点开始为: ,我们先假设在小溪中心高程z=800的地方修桥。在这样的高程上,我们找到小溪上对应的点为 ,由此算出溪流的宽度: 。因为桥的坡度为零,从这方面考虑,则桥的两个落点只能在点 这两点与A点的两条直线上确定,为了方便,我们做一个垂直于o-xy面,含直线 的剖面如下图,  为桥的两个落点,为了满足桥的宽度最接近小溪宽度,通过计算,我们求得 ,则桥的实际高程为855,桥的实际宽度为 82米。倒此,我们解决的桥梁问题。
(二)、第一段山路的优化设计
由题所给数据及上面对桥梁位置的找寻,我们可以知道这段路的始点为M(0,800,650),终点为 。通过对整个数据的观察及计算,我们需要在x=400,x=800的位置分别寻找高程z=700,750的点,为了简便计算,我们假设在x=400与x=800的地方,山形在两点间呈直线,那么我们可以得到这样两个点 我们用分段直线连接 ,这里 ,记该段曲线的长度为 。在y=400这个平面上,我们在x=1200到x=2400直接修路是可行的,于是根据题中所给数据,我们以合一条山体曲线,即公路的曲线如下图所示(由于横纵坐标的选取间隔不一样,故看起来较为陡峭,实际不然):
该曲线的函数为:z=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570,x在1200到2400之间,记该段曲线的长度为 。
现在解决该段曲线最后一段,通过对数据的观察,我们认为该段曲线应该要经过 这点。通过对坡的计算,发现这样走是可行的。我们就直接用几段线段来连接这几点,记该部分曲线的长度为 。
则第一段公路的长度为 4124.2   806

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