C++RSA算法文件加密解决方案RSA论文 第5页
E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =1
E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =0
最终D = 9 即为所求。
② 求 的值
开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 8
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 4 E = E/2 =4
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 3 E = E/2 =2
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 9 E = E/2 =1
E奇数 D = DP mod n = 9 P = 不需要计算 E = (E-1)/2 =0
最终D = 9 即为所求。
观察上述算法，发现E根据奇偶除以二或减一除以二实际就是二进制的移位操作，所以要知道需要如何乘模变量，并不需要反复对E 进行除以二或减一除以二的操作，只需要验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了。同样是计算 ，下面给出从右到左扫描二进制位进行的幂模算法描述，设中间变量D,P,E的二进制各位下标从左到右为u,u-1,u-2,…,0。
Powmod(C,E,n)
{
D=1;
P=C mod n;
for i=0 to u do
{
if(Ei=1)D=D*P(mod n);
P=P*P(mod n);
}
return D;
}
有些文献将上述算法称为平方乘积二进制快速算法，例如参考文献中的《基于RSA算法的一种新的加密核设计》，其实这种算法本质上和图2-4的流程完全一致，只是把根据指数奇偶分开的减一和除以二合并成对指数二进制各位的判断而已。在本软件的代码中采用直接扫描vlong二进制各位的办法。
剩下的问题就是乘模运算了。提高乘模运算的速度是提高模幂运算速度的关键。一般情况下，n是数百位乃至千位以上的二进制整数，用普通的除法求模而进行乘模运算是不能满足速度的要求的。为此，Montgomery在1983年提出了一种模加右移的乘模算法（主要著作发表于1985年），从而避免了通常求模算法中费时的除法步骤。本软件仅仅是应用Montgomery(蒙哥马利)算法，算法的具体推导证明需要颇多数论知识，不在本文的讨论范围内，如需了解可参见蒙哥马利的相关著作。下面简单描述RSA中常用的Montgomery(蒙哥马利)算法供参考理解源程序。
选择与模数n互素的基数R=2k，n满足2k－1≤n<2k， n应为奇数。并且选择R-1及n’，满足0< R-1<n, 0< n’<n,使得 RR-1-nn’＝1。对于0≤m<Rn的任意整数,Montgomery给出求模乘法mR-1 mod n 的快速算法M(m):
M(m)
{
if (t≥n) return (t-n);
else return t;
}
因为 ，故t为整数；同时 ，得 。由于 ，M(m) 中t结果范围是0≤t<2n，返回时如果t不小于n，应返回t-n。
本软件程序中，RSA核心运算使用的乘模算法就是 M(A*B)。虽然M(A*B)并不是乘模所需要的真正结果，但只要在幂模算法中进行相应的修改，就可以调用这个乘模算法进行计算了。本软件起初未使用Montgomery 乘模算法时，加密速度比使用Montgomery乘模算法慢，但速度相差不到一个数量级。
将上述乘模算法结合前面叙述的幂模算法，构成标准Montgomery幂模算法，即本软件所使用的流程，叙述如下。
M(m)
{
k = ( m * n’ ) mod R;
x = (m + k*n ) / R;
if (x>=n) x -= n;
return x;
}
exp(C,E,n)
{
D=R-n;
P=C*R mod n;
i=0;
while(true)
{
if(E的当前二进制位Ei==1)D=M(D*P); //从低位到高位检测二进制位
i+=1;
if(i==E的二进制位数)break;
P=M(P*P);
}
return D*R-1 (mod n);
}
在具体的实现中，对应monty类的mul和exp方法。全局函数modexp初始化monty对象并调用其exp方法，使用的时候直接调用modexp即可。
3. 寻找素数•Eratosthenes筛选与Fermat素数测试
首先要说明的是，事实上，当今的计算机还不足以聪明到立刻计算生成一个很大的随机素数。一般来说，要得到100%准确的大素数，都是通过查已经计算好的素数表的方式。但是素数表的方式给RSA的安全性带来隐患，因为攻击者如果得到了密钥生成时所使用的素数表，攻破RSA加密的难度将会大大降低。本程序起初使用素数表的方式，后来考虑到安全性问题，生成密钥的方式改为随机计算生成。这样，短时间内如果要得到一个100%准确的大素数是很困难的，只能以尽可能高的概率得到一个大素数。
经过2.2.1.1和2.2.1.2小节，所有的大数运算功能都准备完毕，在此基础上，本工程将寻找素数的功能置于类Prime_factory_san之中。外部只要调用本类实例的成员vlong find_prime( vlong & start )就可以以大数start为起点，得到一个数，这个数是素数的概率很大。下面介绍寻找素数的原理。
首先在需要寻找素数的整数范围内对整数进行筛选，把所有确知为合数的整数排除出去。程序中构造了一个数组b[]，大小为一轮素数搜索的范围，记搜索范围大小为SS。b[0]到b[SS]分别对应大数start到start+SS。b[]中所有元素先初始化为1，如果对应的大数确定为合数，就将b[]中对应的元素置为0。最后，只需对那些b[]中为1的元素对应的大数进行比较确切的素数测试即可，只要被测试的数是素数概率达到一定门限，就判这个数为素数。这样做既保证了这段程序可以在短时间内执行完，又保证了可以以比较高的准确度得到素数。
函数find_prime先把b[]的所有元素赋值为1，然后按参数start给标记数组b[]的各元素赋0值。下面描述标记数组b[]的赋0值算法。首先，在类Prime_factory_san被构造的时候，构造函数中从2开始搜寻一些小素数，记录在数组pl[]中，共记录NP个。这些小素数用来当作因子，他们的倍数将被从大素数搜索范围内剔除(即把数组b[]的对应元素标记为0)，剔除的程序代码如下。
for (i=0;i<np;i++)
{
unsigned p = pl[i];
unsigned r = start % vlong(p);
if (r) r = p - r;
while ( r < SS )
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