数码相机定位数学建模论文
为了研究数码相机的定位中的双目定位，我们通过对数码相机成像原理的分析，利用几何学中的仿射变换对定位问题进行模拟，即认为物点通过照相机到成像的过程，实际是靶平面的点通过射影变换，变换到像平面上的过程，而像和物的差距可以认为是仿射变换中的扭曲、旋转造成的。
首先，根据光学理论中的凸透镜成像原理，得到了物距、像距、焦距一文射影变换公式 ，即把像平面线段变换到相平面的 轴上。由于坐标轴旋转，可以得到 轴上变换公式，综合它们可以作为点 上点 到 面上点 的近似变换式 。
其次，考虑到坐标 旋转后，射影变换对坐标 有压缩，在近似方程上添加相互影响因子，得到变换式 。
第三，像点或物点均不考虑无穷远点（距离有限相对较近），可以认为该变换把靶平面的圆变换为近似椭圆，圆心对应椭圆中心。运用灰度阈值分割法和方格定心法测量中心，根据测量数据和靶平面圆心的相对数据，求得方程（2）的参数，如焦距，压缩系数等，所以完全确定了这次照相的变换式，得到了靶点在像平面的坐标。
第四，根据对公式（2）求微分，估计计算误差公式（4）。并重新找物点坐标，计算像点坐标，拟出椭圆和照片进行比较分析，可以得到模型的可靠性评价。
最后，根据两部相机和靶平面，实际得到两个射影变换，同样可以根据根据测量数据和靶平面圆心的相对数据，计算出两个变换的物距 和夹角 ，根据余弦定理和方向角的关系，给出两部相机的相对位置的数学公式（5）。
关键词：数码相机；双目定位；数学模型；系统标定；射影变换；灰度及图像阈值化。
摄影测量是研究利用非接触式传感器采集的被测对象资料，经过对其进行加工处理和分析，获取被测物体及其环境的可靠信息的理论和方法的学科。因其机动性好，时效性高，目的性强，投入相对较底，应用广泛等优点成为获取地面信息的主要途径之一。目前，摄影测量正朝非量测摄影技术发展。作为基本工具，数码相机因具有投资省，速度快精度高等优点逐渐成为摄影测量的主要使用仪器。文中研究了利用两部数码相机对实物进行摄影来精确的确定两部相机的相对位置的方法和数学模型。
1.问题重述与问题分析
数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法
是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
图 1靶标上圆的像
有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。
图 2 靶标示意图
用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。
图3 靶标的像问题：
（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；
（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786；
（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；
（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
上述四个问题，虽然各不相同，但是彼此联系紧密。问题（1），（2）的求解关键在于能否成功的从标靶上这些圆的像中把圆心的像精确的找到的过程，这一过程称为系统标定。因此，只有当系统标定成功的实现了，该问题也就解决了。确定了靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，在利用数学射影变换及物理学中物与像的计算公式 （1）
就可实现问题（1）、（2）中的靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标和该相机的像距。
问题（3）的求解中在靶标上建立 直角坐标系。此时可在 坐标系中设出原靶标四个圆各自的圆心A，B，C，D，E的相对坐标，设A（ , ），B( )，C( )，D( )，E( )。同时通过对原靶标中各圆的边缘点与像平面上各自的像的边缘点的投影点的比较，像几何失真。由于像平面和物平面不一定平行，物点到像点应该射影变换。考虑物像，光学中心距离有限，可以近似认为原靶标中各圆在像平面上的像为椭圆，通过数据来确定射影变换公式，进一步完善问题（2）。对问题（3），通过对变换系统的进行误差分析，得到像坐标的误差估计，另外还通过计算原靶标中各圆的中心与其像中心的接近程度，从而检验了该模型的合理性。对问题（4）可以根据两次变换的所得到的信息来解决。942