基于量子Grover算法的MIMO-OFDM系统信号检测技术的研究 第3页
第二章 量子Grover算法及其改进算法
量子信息论(Quantum Information theory)是在经典信息论的基础上发展起来的，它同样是研究有效和可靠传递信息的理论，它涉及信息的产生、存储和传输；信息是源于物理状态在时空中的变化这个观念逐渐被人们认识，当产生信息的物理状态从经典物理延伸到量子物理时，所有的信息和计算理论也将延伸到量子态的传输和处理之中，出现了以量子力学为基础的量子信息理论(Quantum Information Theory)。其中，信息的传输为量子态在空间中的传送，信息的处理是量子态在受控条件下的演化，信息的获取则是对量子态的测量。本章从量子态的基本概念开始，介绍量子信息处理技术的基本理论和基本原理，并介绍Grover算法的原理及一种基于Grover算法的改进算法。
2.1 量子信息论基础
2.1.1 量子态及表示
量子力学系统中微观粒子的状态如电子的位置、动量、自旋及光子的极化、偏振等由波函数ψ完全描述[12]。波函数也称为态函数，又称为概率幅，它反映了微观粒子波粒两象性矛盾的统一。任何一个量子态ψ可以表示成Hilbert空间（完备内积空间）[13]的一个矢量，称为态矢量，Hilbert空间就是态矢量张起的空间，称为态矢空间。态矢空间由多个基本量子态即本征态构成，基本量子态又称基本态或基矢。对于量子计算和量子信息处理而言，只需考虑有限量子系统和有限文Hilbert空间。
在量子计算与量子信息中遇到的有限文复向量空间类中，它就相当于内积空间。量子力学是建立在Hilbert空间上的数学模型。Dirac用Bra/Ket符号描述状态矢量。在这空间中一个矢量用符号“ ”表示，称为右矢(ket vector)。若要标明系统某一特殊状态，可在右矢中标上记号，如 ；“ ”的共轭矢量(conjugate vector)“ ”称为左矢(bra vector)。所谓量子态，包括各种粒子的位置，动量，偏振，量子数等等，在量子力学中都被描述为矢量形式，成为（量子）态矢量。因此，量子态的运算，实际上都被转化成矢量（矩阵）的运算。
用一个态矢量描写的状态称为纯态(Pure state)，这既包括一个简单的状态 ，也包括由 个可构成正交归一集的态矢量 组成的叠加态(superposition) ： (2.1.1)
表示态的数目，并且存在以下关系： 。这里，值得注意的是基矢量顺序的选择是任意的。例如， 态可代表 ，那么 就代表 。
相对于经典比特有一个状态，或0或1，量子比特也是表示量子态的一个状态。对于一个量子比特，若它的计算机基矢是 和 状态，它与经典比特的区别在于，量子比特的状态可以落在 和 之外，它可以是 和 状态的线性组合，常称为叠加态(superposition)。例如 (2.1.2)
其中 和 是复数，满足 。这样总体来看，量子比特的状态是一个二文复向量空间中的向量。特殊的 和 状态称为计算机基矢(computational basis state)，是构成这个向量空间的一组正交基。
量子比特可用如下的几何表示，因为 ，等式(2.1.2)可改写为：
(2.1.3)
其中 ， ， 都是实数，同时外面 不具有任何可观测的效应可以略去，因此上式可以重写为：
图2.1 量子比特的Bloch球面表示
其中数 ， 定义了三文单位球面上的一个点，使 与球面上的点一一对应。如图2.1所示这个球面常称为Bloch球面。它是是单个量子比特状态可视化的有效办法，也是量子计算与量子信息思想的极好的实验平台。
2.1.2 量子逻辑门
量子计算过程是对量子态的幺正演化过程，量子计算中的一切逻辑操作必须执行幺正操作。完成最基本的幺正操作的量子装置称为量子逻辑门，简称量子门[14-17]（Quantum Gate）。量子门按照它作用的量子位即qubit的数目可分为一位门、两位门和多位门。
1. 单量子位门
逻辑门的操作可以用对量子位的Hilbert空间基矢的作用定义。如果一个幺正操作演化基矢态为：
(2.1.5)这个幺正操作就是一个一位门。记基 ， 。
这个门操作就可用一个幺正矩阵表示，其中 ：
(2.1.6)容易验证 ，所以这个门操作还可以用投影算子形式表示为： (2.1.7)注意到 满足正交归一化条件，不难验证：
(2.1.8)由于 操作改变两个基底态的相对位相， 门成为位相门。
几个重要的单量子位门：
单位门 非门 Z门 Y门 (2.1.9)
2. Hadamard门（H门）
Hadamard门是一种非常重要的量子门，其表述为： (2.1.10)
H门分别作用于 态和 态，则有： (2.1.11)
根据上式，可以看出 相当于将态矢 顺时钟方向旋转45○， 相当于将态矢 逆时钟方向旋转135○。当输入是一位量子位 时，将产生叠加态 。将此性质推广到多量子位的情况时，对n个量子位有：
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