基于坐标变换的数码相机定位 第2页
五、靶标上圆心的像的过程的计算
由于模型的内部的误差和建模中相关的假设,我们所得的模型（6）必然不能计算靶标上圆心的像坐标的真实值,但我们借助模型（6）分别给出了靶标上圆心 的最可能的几组数据如下
第一组 第二组 第三组
圆心A的坐标 （1.840，3.187，8.160） （2.115，3.664，8.632） (1.254,2.173,7.525)
圆心B的坐标 (-3.301,-0.329,14.289) (—3.494,-0.667,14.152) (-2.885-0.399,14.570)
圆心C的坐标 (-7.096,7.096,28.577) (-6.963,6.963,25.148) (-7.641,7.641,21.429)
圆心D的坐标 (-1.960,-3.394,20.412) (-2.246,-3.889, 20.217) (-1.343,-2.32720.817)
圆心E的坐标 (7.096,-7.096,28.577) (6.963,-6.963,25.148) (7.460,-7.460,21.429)
表（１）辣、模型的精度和稳定性分析
为了更好的说明我们的模型具有稳定性,精确性和一般性,下面先将涉及到空间中性图形的各种变换以简要介绍.
设 是一个空间的坐标,H是实数,我们称 ,是点的齐次坐标.如 , , 都是它的齐次坐标, 其中 称为平凡化的齐次坐标;已知一个点的齐次坐标 也是很容易求得它的三文坐标： , , .由此可知, 当 时有 , , .因此,四文空间中 可以看成三文空间的无穷远点.
设 为 矩阵,即
,则 .由于点 到点 的一个变化,对应的一个三文空间中的变化,变换前定位点是 则有 .
当 时,对应三文线性变换,此时有
,当 时是点M 在空间 中的平移变换,即 , , ;当 时, , ;是比例变换.特别的,当 时是各向均匀的放大或缩小变换, 表示对 平面的对称变换, 表示对 轴的对称变换, 则表示对称变换;当 时,可得对应的三文空间变换为 这是错切变换,即 坐标不变, 方向发生错切;当 时是绕 轴旋转 , 坐标保持不变,而 坐标则绕原点旋转 ,同样的,当 或 时是绕y轴和z轴的旋转,此时,旋转角符合右手法则.
命题1 空间 中点点 绕过原点的任意轴旋转 角后所点为 则
证明: 设过原点 的轴的方向数为 点 旋转后变成点 如下图2所示
图2中过 作平面 于 交 与垂直交与 点,于是 ,作 则 ,但是 （因 ）.又 ,因 从而, ,即 .又 所以 .
故 .
又 是 在 的分矢量,即 ， .
注意到 用齐次坐标表示,则有 ,其中
显然,取 即绕 轴旋转, 即绕 轴旋转, 即绕 轴旋转.
推论2 绕过 轴的旋转 则可以通过变换的分解与级联达到.
由于问题一中靶标的位置是任意的, 而且总是位于数码相机的二倍焦距以外,若靶标作各种变换,如平移变换、比例变换、整体变换、错切变换、绕坐标轴 u,v,z 旋转或过点（0,0, ）的任意轴旋转 ,则得的靶标上圆心的像的坐标总是成立的.一般情况下,物距固定时,空间某点的所有线性变换总可分解为绕原点的旋转变换、以原点为中心的比例变换和错切变换的级联.为节省篇幅,我们仅考虑物体绕过 点的任意轴 旋转 角后,所成的像在像平面上的坐标,若所给的模型 成能够准确的计算出靶标上各圆心坐标,则说明我们的模型是高度稳定和精确的,且具有普遍性.由于 绕 轴旋转 角后,其坐标为 ,设 轴的方向数为 过M, 的像平面 与 垂直交于Q点,于是, = ,
则 当 时,是绕 轴旋转, 时,是绕 轴旋转, 时,是绕 轴旋转.设 的像的坐标为 ,则
.上述 都是关于 以及 的函数,即像的坐标与拍摄的方位,左右摆动的幅度以及物距有关,而这与现实是相吻合的.即就是说,我们的模型具有稳定性和精确性. 不失一般性,我们取 为 分别取为为 时通过编程计算可得靶标上各圆圆心在像平面上的坐标如下:
圆心A的像坐标 (1.840,3.187,8.160) (2.115,3.664, 8.632) (2.626,4.548,10)
圆心B的像坐标 (-3.301,-0.329, 14.289) (-3.494,-0.667,14.152) (-3.845,-1.28, 14)
圆心C的像坐标 (-7.096, 7.096, 28.577) (-6.963,6.963, 25.148) (-6.817,6.817,21.213)
圆心D的像坐标 (-1.96, -3.394, 20.412) (-2.246，-3.889，20.217) (-2.765, -4.789, 20)
圆心E的像坐标 (7.096, -7.096, 28.577) (6.963,-6.963， 25.148) (6.817,-6.817,21.213)
表 事实上,由表 可知,当 的变化幅度不是太大,如 其像坐标的变化
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