17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。微分与积分的基本问题，在当时被看作不同的类型来处理。虽然也有人注意到了某些联系，但并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。因此，站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家们面临的艰巨任务。
二）微积分的建立
在创建微积分的过程中究竟还有多少事情要做呢
1)需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系,创立一套一般的符号体系,建立计算的正确程序或算法.
2)为这门学科重建逻辑上的一致的,严格的基础.
第1)项由牛顿和莱布尼兹各自独立完成.
第2)项由法国伟大的分析学家A.L柯西(Cauchy,1789_1857)及其他19世纪数学家完成。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
1、牛顿的“流数术”
牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他正在剑桥大学学习。他因对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。1665年11月，牛顿发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，它是历史上第一篇系统的微积分文献。《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：
（a）设有两个或更多个物体A，B，C，•••在同一时刻内描画线段 。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度 的关系。
（b）已知表示线段 和运动速度 、 之比 的关系方程式，求另一线段 。
牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。
已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方程中的 和 ，然后利用二项式定理，展开得
，
消去和为零的项，得 ，以 除之，得
，
这时牛顿指出“其中含 的那些项为无限小”，略去这些无限小，得 ，即所求的速度 与 的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 ，问题（a）的解为 。
对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的：
设 △ 为已知曲线 下的面积，作 ∥ ∥ 。当垂线 以单位速度向右移动时， 扫出面积矩形 ，变化率 ； 扫出面积△ ，变化率 。由此得 这就是说，面积 在点 处的变化率是曲线在该处的 值。这就是微积分基本定理。
在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在牛顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“微积分基本定理”统一为一个整体。正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。
在《流数简论》中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。所以，牛顿对于自己的发现并未作太多宣扬。他在这一年10月当选为剑桥大学三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。它们真实再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。
《分析学》借用无穷级数来计算流数、积分以及解方程，它体现了牛顿微积分与无穷级数紧密结合的特点。该文以无限小增量“瞬”为基本概念，尽管回避了《流数简论》中的运动学背景，但却将瞬看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。
在《流数法》中，牛顿又恢复了其运动学观点，但对以物体速度为原型的流数概