matlab模糊控制倒立摆控制系统设计仿真 第3页
第2章 倒立摆的建模
本章研究倒立摆系统的数学模型推导。
系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
2.1一级倒立摆的数学模型
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2一1所示。原文请找腾讯752018766;辣/文-论~文'网
http://www.751com.cn图2-1 倒立摆系统
各参数含义如下：
M小车质量 单位：KG
M摆杆质量 单位：KG
b小车摩擦系数 单位：N/m/sec
1摆杆转动轴心到杆质心的长度 单位：m
I摆杆惯量 单位:kg*m²
F加在小车上的力 单位:N
x小车位置 单位:kg
A摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 单位:rad
B摆杆与垂直向上方向的夹角 单位:rad
图2一2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和尸为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
矢量定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
a） 小车受力分析
b） 摆杆受力分析
图2-2小车与摆杆的受力分析
小车做平动，由小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
M =F-b -N
摆杆作平面运动，可分解为质心的平动和绕质心转动，由水平受力分析，可以得到以下方程：
即：
代入上式得： （2.1）
再由摆杆的受力分析，可得到如下方程：
又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
把P和N代入得：
整理得： （2.2）
由于 ，假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 《1，则可以进行近似处理： ，
， 。用u来代表被控对象的输入里F，线性化后得到两个运动方程如下：
（2.3）
对方程组（2.3）进行拉普拉斯变换（设初始条件为0），得到：
（2.4）
由于输出为角度 ，由方程组（2.4）的第一个方程得到：
代入第二个方程，得到：
整理后得到传递函数：
其中
设系统的状态方程为：
由方程组（2-3）可解得：
(2.5)
设 ，则整理后得到系统的状态方程：
公式(?-?)
第三章模糊控制的数学基础
在传统的控制领域里，控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的的最主要的关键，系统动态信息越详细，则越能达到精确控制的目的。然而，对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以正确描述系统的动态，于是工程师便利用各种方法来简化系统动态，以达成控制的目的，但却不尽理想。因此便尝试着以模糊数学来处理这些控制问题。模糊控制的理论基础是模糊数学。
3.1模糊子集与运算
3.1.1模糊子集的定义及表示
模糊子集的定义
设给定域U，U到【0,1】闭区间的任一映射
都确定U的一个模糊子集A, 称为模糊子集的隶属函数， （u）称为u对于A的隶属度。
隶属度也可记为A（u）.在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。
上述定义表明，论域U上的模糊子集A由隶属函数 来表征。
的值接近于1，表示u从属于A德程度很高：
的值接近于0，表示u从属A的程度低。
可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。
当 的值域={0,1}时， 蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集A便蜕化成一个经典子集，由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合his经典集合概念的推广。
模糊集合表达方式如下：原文请找腾讯752018766;辣/文-论~文'网http://www.751com.cn1. 当U为有限集 时，通常有如下三种方式。
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