式中，{ε}为单元内任意一点的应变阵列；[B]为单元应变矩阵；
利用本构方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式
{σ}为单元内任一点的应力阵列；[D]为与材料有关的弹性矩阵。
根据虚功原理求出单元中的节点力
式中，为等效节点力；为单元刚度矩阵，其中
(4)结合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程
这个过程包括两个方面的内容：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效节点力阵列，集合成总的载荷阵列。最常用的集合刚度矩阵的方法是直接刚度法。一般来说，集合所依据的理由是要求所有相邻的单元在公共节点处的位移相等。于是得到以整体刚度矩阵[k]，载荷阵列[F]以及整个物体的节点位移阵列{δ}表示的整个结构的方程
(5)求解未知节点位移和单元应力毕业论文
http://www.751com.cn/ 有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是未知节点位移。根据解算得到的整体结构上的节点位移，可以知道各单元的节点位移，将单元节点位移代入单元应力与单元位移的关系式就可以求得单元上的应力。
在计算机飞速发展的今天，出现了许多大型的面对对象的有限元软件包。它根据不同的领域，不同的学科方面的不同需要，为研究人员提供了一系列的建模、计算、结果检查程序。研究人员只需把研究对象的边界条件给出，程序便可计算相应的结果，并且其精度是相当可信的。这就为研究人员大大节省了编程时间，从而大大提高了科研开发的效率。原文请+QQ32'49114辣.文'论"文'网
3.2 金属塑性成形有限元概述
金属材料非线性的本构关系可划分为四种类型：弹-塑性；刚-塑性；刚-粘塑性；弹-粘塑性，如图所示。
对于有限节点的运动，从物理上看，可采用三种描述和研究方法。一种是把节点的运动和各物理量看成是Lagrange坐标 Xi和时间t的函数，有限元网格随材料的变形而变化。另一种方法是把物体节点的运动和各物理量看成是Euler坐标 xi 和时间t的函数，有限元网格不随材料的变形而变动，欧拉坐标在不同的时刻对应不同的节点。还有一种是任意拉格朗日-欧拉（Arbitrary Lagrange-Euler，简称ALE），最早是被由Nor和Hirt等人以混合Euler-Lagrange(Coupled Eulerian-Lagrangian)描述的名称提出的。在ALE法中，计算网格的部分是在参考构形中进行的，网格是独立于物体和空间运动的，即网格点可以随物体一起运动，也可以在空间中不动，甚至可以在一个方向上固定，而在另一个方向上随物体一起运动。弹-(粘)塑性本构关系以 Lagrange坐标为基础；而刚-(粘)塑性本构关系是以 Euler坐标系为基础。在 Euler 坐标系中，运动平衡方程不满足质量守恒，而要认为体积不可压缩，则必须施加约束。
3.2.1 弹（粘）塑性有限元法
弹塑性有限元最早是由Marcal和King于 1967 年提出的。用弹塑性有限元法对金属成形进行模拟时，同时考虑弹性变形和塑性变形。在弹性区采用Hooke定律，塑性区是Prandlt-Reuss方程和Mises屈服条件。对于小变形，以节点位移为未知量直接求解；对于大变形，采用增量法分析。由于考虑了弹、塑性区的相互关系，既可分析加载过程，又可分析卸载过程。但由于要采用增量方式加载，为了保证计算精度和迭代收敛性，增量步长不可能太大，所以在计算大变形问题时，计算量大，而且需要较长的时间和较多的费用，效率较低。在金属塑性成形模拟分析中，常用的基于弹(粘)塑性本构关系的三文有限元分析软件主要有 MARC、ANSYS、FORGE3 等。
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