先验概率分布P(X)概括实验者在获得样本Y之前对未知参数X的认识。而P(X|Y)则是得到样本Y的条件下实验者对X的重新认识，称为X的后验分布，综合了X的先验信息(P(X))和样本带来的关于X的新信息(P(Y|X))。因此Bayes定理是综合先验信息和样本信息的一种工具。
(3) Bayes估计
如果所考虑的统计判决问题是求 的点估计，则称满足条件 （3-1-6）
的判决函数 为t的Bayes估计。
3.1.2 算法原理
图3-1 Smallrice
在一幅M×N的灰度图像(图3-1)中，用f(x,y)表示该图像上像素点(x,y)的灰度值,且0≤f(x,y)≤L-1，L为该图像的灰度等级，h(g)作为图像灰度概率分布的描述。
图3-2 Smallrice的一文直方图
图3-1的灰度直方图如图3-2，灰度图像的直方图可以看作目标和背景的灰度值的混合分布，其概率密度函数为 ，其中Pi为先验概率，将混合分布的目标和背景的两个分量使用正态分布p(g|i)来模拟如图3-3，分别服从均值为ui,方差为σi的正态分布 （3-1-7）
图3-3 正态拟合曲线
设两个正态分布的交点对应的灰度值为t(称为阈值)，则
（3-1-8）
将（3-1-8）两边取对数，并将（3-1-7）带入化简后有
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于是可以找出最佳阈值，但是混合分布p(g)的参数ui，σi，Pi与灰度图像有关，且通常不知道参数值。为此Kittler和Illingworth提出了一种简单的求取最佳阈值的方法，各个参数的取值如下：
， ， ，
，
根据Beyes定理，由公式（3-1-4）得到目标和背景的灰度层的条件概率可以表示为：
（3-1-10）
其中，h(g)与i和t无关，可以忽略。再对两边去对数并乘以-2，可得
（3-1-11）
根据公式（3-1-11）能够反映正确分类性能的一种测量量。在此基础上，定义一个准则函数J(t)以描述整幅图像上的平均的正确分类性能，即： （3-1-12）
对于一个已知的阈值t，准则函数间接地反映了目标和背景的正态分布间的交叠量。将公式（3-1-11）和各个参数带入化简得到的准则函数为：
（3-1-13）
根据Beyes估计，来使准则函数值最小时取得的阈值为最佳的阈值，即最佳阈值选为使J(t)取最小值的t=t*,即
（3-1-14）
在获取最佳阈值后，可以根据该最佳阈值t*对灰度图像进行二值化：
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