1.2 匀速率曲线运动中的法向加加速度
我们知道火车在平直轨道转入弧形轨道时，弯曲轨道会突然施加给火车一个惯性离心力，迫使其外轨道受到压力。因此在铺设铁路时，需要把平直轨道和圆弧形弯曲轨道用适当方法连接起来，以缓和惯性离心力的变化。我们把这种起连接作用的轨道曲线称为缓和曲线。下面我们就对这一缓和曲线模型进行理论分析。
如上所述，把平直轨道和圆弧形轨道直接连接，那么在结合点，火车的法向加速度就会由零突然增加到(为圆弧轨道的半径)，将会使火车外侧轨道受到突增的惯性离心力，从而挤压钢轨产生剧烈振动，严重影响乘客的乘坐舒适性。如果在中间接上一段曲率由零逐渐均匀地增加到的缓和曲线，就可以使法向加速度由零均匀地增加到，从而避免出现冲击力。显然，适当长度的缓和曲线会对火车的行驶有利。
在实际设计中，常用的缓和曲线是三次方曲线[4]，设平直轨道段在负轴上并与缓和曲线在坐标原点处相连接，则缓和曲线方程可以写成
上式中R为弯曲轨道半径，l,为缓和曲线长度[4]。火车在这种缓和曲线轨道上行驶可以使其法向加速度的值均匀地从零渐增加到。很明显，沿法线方向的加加速度的变化率的值保持不变，并指向外侧轨道。方程的理论推导如下
图 1 列车行驶轨道曲线
由微分学知道，当轨道方程为时，轨道上任意点的曲率为(设为任一点处的曲率半径）
而如果切线斜率比l小得多(在缓和曲线情况下就是这样)，则可在上式分母中略去，得到曲率的近似公式：
令曲率与正比于 [4]，
就得到 再积分两次，并利用初始条件，，且，就得到缓和曲线方(1）。在缓和曲线上，法向加速度
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