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量子力学中升降算符的探讨论文 第4页

更新时间:2016-10-21:  来源:毕业论文
3. 磁量子数的升降算符
3.1 角动量的定义
自从1986年Thomson发现电子以后,在1911年E. Rutherford根据 粒子对电子出现的大角度偏转现象提出了Rutherford模型,然后丹麦年轻的物理学家N. Bohr提出了量子论,人们对于光谱规律的认识更加深入。为了解释光谱中面对的矛盾引入了电子自旋的概念,在非相对论的量子力学中,角动量的定义为 = 。角动量在量子力学中可定义为:
                                                      (20)                               
分量形式:
               ,  ,                  (21)     
这个定义包含了电子自旋,其中自旋是一种相对论效应,并不是经典力学体系简单的机械的自转,电子自旋是电子本身的内禀属性。
3.2 磁量子数和轨道角动量量子数的关系
电子角动量在三文空间中分为两个量子数,一个是磁量子数 ,另一个是轨道角动量量子数。我们知道在 构成的力学量完全集中,对于给定 ,本文来自辣%文~论.文!网,毕业论文 www.751com.cn 加7位QQ324~9114找原文 的本征函数是简并的并有(2 +1)个简并态,为了区分各个简并态我们用 来表示。因此有如下公式:
                                            (22)                                                           
                                           (23)                                    
引入上升和下降算符:
                                  (24)
则有 
                                  (25)               
 与 , 的对易关系为
                                                         (26)                           
                                                       (27)                        
(26)式作用于 可知:
                                                (28)
                                                   (29)   
其中 的取值范围为 , ,因此 也是 和 的共同本征函数。  和 作用在 的本征函数下,由(25)式可 的本征值不变,知而 的本征值上升或下降1,算符 是磁量子数 的升降算符,也称为阶梯算符。
算符 使我们能够用 和 的本征函数表示 , 的所有本征函数[9] ,那么这里就有了一个问题:那就是为什么没有轨道角动量量子数 的升降算符呢?通过翻阅资料可以发现,最早给出这个问题的答案是喀兴林教授,他给出了角动量量子数的升降算符 和 。利用下面公式
 ,                 (30)
可以使轨道角动量量子数 有升降的作用,在研究轨道角动量升降算符时,先引入方向算符。

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