函数列积分的极限问题及推广应用 摘要： 本文旨在通过对函数列积分的极限的相关理论进行探讨，从而更深入研究其理论发展和应用扩展等方面的问题。文章在绪论部分阐述了国内外对函数列积分极限问题的相关研究现状以及研究本课题的目的和意义，这对进一步研究函数列积分的极限问题起着重要的作用，并在随后的内容中给出了黎曼可积函数列积分的极限定理的证明，归纳总结了勒贝格测度、勒贝格积分的控制收敛定理、勒贝格积分的极限定理、函数列广义积分极限定理、函数项级数广义积分逐项积分定理等相关定理和内容。接下来应用函数列积分的极限理论，我们给出了积分控制收敛定理及其应用，并将它作为应用于对含参变量积分研究的一个工具，使相关结果得到简单自然的处理，构成了一套函数列积分的极限理论。最后，本课题研究得到的函数列积分的极限理论应用于实例中加以证明，提高这套函数列积分的极限理论的真实可靠性。
关键词： 函数列的极限；函数列积分极限；黎曼积分；积分控制收敛定理
The Limit Problem of Functional Sequence’s integral Abstract: In this paper, we discussed some theories on the limit of functional sequence’s integral to study its developments and applications deeply. Firstly, in the introduction, we described the research status of the limit problem of functional sequence’s integral theorem under the conditions of uniform convergence of continuous functional sequence at home and abroad,which plays an important role in studying the limit problem of functional sequence’s integral,and we gave the proof of the limit of Riemann-integrable functional sequence’s integral theorem.We introduced and summarized Lebesgue measure, Dominated convergence theorem of Lebesgue Integral,the limit of Lebesgue Integral theorem,the limit of functional sequence’s improper integral theorem, series with function terms of improper integral termwise integration theorem and so on.Next we gave the integral dominated convergence theorem and its application by using the limit of functional sequence’s integral theory,and we use it as a tool of researching on integral depending on a parameter to make the result simple and natural and to formed into a theory.Finally, this research use the limit of functional sequence’s integral theorem to apply to the instance to prove, to improve the authenticity of the set of functions as integral limit theory.
Keywords: limit of functional sequence;limit of functional sequence’s integral; Riemann integral; integral dominated convergence theorem
目录
摘要 i
Abstract i
目录 1
1 绪论 2
2 黎曼函数列积分的极限定理 3
2.1 一致收敛的可积函数列的极限函数的黎曼可积性 3
2.2 黎曼积分下的控制收敛定理 5
2.3 广义积分下的控制收敛定理 6
3 函数列积分极限相关理论归纳总结 10
3.1 勒贝格测度 10
3.2 勒贝格控制收敛定理 11
3.3 有限闭区间上一致收敛函数列积分的极限定理 12
3.4 有限闭区间上一致有界局部一致收敛函数列积分极限定理 12
3.5 函数列广义积分极限定理 13
3.6 函数项级数广义积分逐项积分定理 14
4 函数列积分极限问题的推广与应用 16
致谢 17
参考文献 18，3745