绪论
函数列积分的极限问题是分析学中的重要问题，在幂级数、傅里叶级数 、实变函数、复分析、偏微分方程、数值分析等方面有重要使用与发展。然而，对这些重要的理论在数学分析中一般是没有给予必要的讨论的。我们发现，这些理论问题完全可以在数学分析中给予介绍，不会增加多少难度，且能解决大量的问题，并为后继发展奠定基础。在现有函数列的极限理论方法的基础上，充分发掘它的功能和潜力，就能得到函数列的黎曼积分的极限定理，使得黎曼积分的极限理论趋于完善，扩大它的理论和应用，使用起来如同勒贝格积分的控制收敛定理一样方便，在一定意义上缩小黎曼积分与勒贝格积分的差距。
在数学分析课程中对函数列积分的极限问题讨论时，一般是在一致收敛的连续函数列的条件下给出了函数列积分的极限定理。国内外的研究发现，完全可以用黎曼积分的定义来解决黎曼可积函数列积分的极限问题，由此构成了黎曼积分的完整理论。这样一来就非常有利于人们接受掌握和使用。应用函数列积分的极限理论，我们给出了积分控制收敛定理及其应用，并将它作为应用于对含参变量积分的积分研究的一个工具，本文来自辣\文:论^文?网，
毕业论文 www.751com.cn使相关结果得到简单自然的处理，构成了一套函数列积分的极限理论。
本课题的目的和意义在于研究现有的定理和推论之后，对函数列积分的极限相关定理和推论进行展开讨论，推广得到一套能够简单应用的函数列积分极限理论。
在实际的文章撰写过程中，首先，第一部分介绍了黎曼函数列积分极限定理的一个推导和应用；其次，第二部分归纳总结了函数列积分极限的相关理论基础；随后，第三部分对函数列积分的极限问题进行了推广和应用，最后得到一套完整的函数列积分的极限理论。
2 黎曼函数列积分的极限定理
2.1 一致收敛的可积函数列的极限函数的黎曼可积性
定理1设函数列｛fm｝的每项都在区间［a，b］上可积，如果｛fm｝在 ［a，b］上一致收敛于函数f，则有函数f在［a，b］上可积，且
证法一 先证明f在［a，b］上可积。记 由于｛fm｝在［a，b］ 上一致收敛于f，从而，对 >0， *，当m>M时，不等式│fm+p（x）—fm（x）│< ，对 ， *都成立，于是 │ │ ，可知｛Jm｝是基本列，又根据柯西收敛定理，得｛Jm｝收敛，令 ,对区间［a，b］的任意分割 ：a=x0 <x1<…<xn- 1<xn=b，任意 ，i=1,2, …,n,记 ， ； = ， ，由于｛fm｝在［a，b］上一致收敛于f，故对 >0， *，当 时，不等式 ，对 成立，从而 = ，再由 ，对上述 ， ，当 时，有 ，因此，存在正整数 ，使得│ │， 成立，因为 在［a，b］上可积，所以存在 ，当 时，都有 ，故对区间［a，b］的任意分割： :a=x0<x1<…<xn- 1<xn=b，任意 ，存在 ，当 时,都有 ，这就证明了函数f在[a,b]上可积，且 ，故 成立。
证法二 对区间［a，b］的任意分割 ：a=x0 <x1<…<xn- 1<xn=b，设 ，记 ， ，由｛fm｝在[a,b]上一致收敛于f可以得到，对任意 ，存在 ，使得不等式 ，对任意 成立；因为fm(x)在［a，b］上可积，故对上述 ，必存在 ，使对任意分割 ，当 时，都有 ，由于对任意 ， 成立，于是 ，从而 ，故得函数f在［a，b］上可积，进而可得
推论 在定理1的条件下，还成立下列极限关系：
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