例1设函数f（x）在［a，b］上可积，则 在 上连续。
证明 对任何确定的 ，任何点列 ，由f（x）在［a，b］可积，得 f（x）在［a，b］上有界，于是有 在［a，b］上一致收敛，利用定理可得 ，即 ，从而有 ，这就证明了 在 处连续，故 在 上连续。｛fn｝一致收敛于f是 成立的充分条件，但不是必要条件。
定理2设二元函数 在闭矩形 上连续，则 是区间 上的连续函数。
证明 对任何确定的 ，任何点列 ， 在 上一直连续，可得出 在［a，b］上是一致收敛的，于是 ，即 ，因此 在 处连续，故函数 在区间 上连续，所以得证。
2.2 黎曼积分下的控制收敛定理
定理3设函数列{fn}的每项都在区间[a,b]上可积，而且满足：
1） ；
3）函数f在[a,b]上黎曼可积；
2）存在常数 ,使得 ,对 ；
则 成立。
例2求极限
解：不妨设 ，显然有 ，对任意 ，函数列{fn(x)}在 上一致收敛于 ，而且 ，所以，
2.3 广义积分下的控制收敛定理
定理4设{fn(x)}是 上的一个函数列， 存在，{fn(x)}在 上收敛于f(x)，如果满足：
1）对任意 A>a，{fn(x)}在［a，A］上一致收敛于f(x)；
2）积分 对n一致收敛；
那么积分 收敛，而且
定理5设{fn(x)}是 上的一个函数列， 存在，{fn(x)}在 上收敛于f(x)，如果满足：
1）对任意 A>a，{fn(x)}在［a，A］上一致收敛于f(x)；
2）函数列 在 上一致收敛；
那么积分 收敛，{ }收敛，而且
证明 由条件2），得对任意ε>0，存在N，当m，n>N时，有 ，对 成立。
令 ，取极限可得 ，这表明{ }收敛，由 ，对任何A2>A1>a，有 ，由此可得 ，再由 存在，对上述 ，存在 A0>a，当 A2>A1>A0时，便有 ，于是 成立。
令 ，取极限可得 ，这表明 收敛；在 中令 ，取得极限， ，然后令 ，取得极限， ，结论得证。
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