运筹学项目资金规划优化模型建立及分析 第2页
2、问题重述（对决策者应考虑的问题的分析、归纳）
设某建筑公司现有正在建设的A、 B 、C 、D 四个项目 按目前所配给的人力 设备和材料 预计完成这四个项目非别需要15周 、 20周 、18周 和25周 的时间 管理部门希望能够提前完成这些项目 为此决定追加35千元分配给这四个项目， 这样为这四个项目分配追加自己的数额和能够完成任务的时间（周数）如表7—6所示。
试问该公司如何将这35千元的资金分配给 A B C D 四个项目，使得提前完成任务的总时间最多，在这里不妨假设追加资金只能以5千元为一组分配。
问题的分析：
（1） A、B、C、D四个项目被允许完成的时间上限分别为15、20、18和25周，即完成任务的总时间为15+20+18+25=78周。
（2） 管理者为了能够提前完成任务，追加的资金上限固定为35千元，而且必须全部用于四个项目的完成上；同时以5千元一组分配，即总共有35/5=7组。
（3） 5千元为一组的7组追加资金只能分别满足A、B、C、D四个项目中的一个，即每个项目只有最优的被7组追加资金中的一组满足。
（4） 管理者要求提前完成任务的总时间最多，即完成任务的总时间较之前需要的78周要尽量的少。
（5） 所配给的设备、人力和材料都满足需要。
问题的解决：
（1） 合理的分配追加的资金，使得提前完成任务的总时间最多。
（2） 首先，我们考虑到问题的题设和要求，我们要解决的是该建筑公司的项目资金最优化分配问题。而此类问题属于典型的动态规划问题，我们可以把每个项目的资金分配作为一个阶段，总共四个阶段逐次进行最优决策。
（3） 其次,我们可以将项目资金的最优化分配视为整数规划问题。并且属于1-0整数规划，此是特殊的整数规划，因为每个项目只能获取七组追加资金中的一组，可知其变量只有0和1两个值，可以根据这个特点考虑这类题目的求解方法。本题目中的变量较少，故可以通过列举所有变量组合并将所有变量组合带入约束条件中进行检验的方法得到最优解。
对本案例来说，目标函数值为
提前完成任务的总时间max=78-追加资金后完成任务的最短时间
3、模型假设
（1）为了方便求解和描述，我们将5千元为一组总共35千元的追加资金分为8组，分别编号为0，1，2，3，4，5，6，7；
（2）不考虑公司人力、设备和材料突然变化给项目完成进度带来的影响
（3）所追加的35千元资金必须完全的被用于项目的建设上。
4、符号说明
模型Ⅰ符号说明：
:给第k个项目分配时拥有的资金组数， =7；
：分配给第k个项目的资金组数， = + , = - , =
（ ）：第n阶段最优指标函数，n=1,2,3,4
：第n阶段指标函数，n=1,2,3,4
：第n阶段的最优决策，n=1,2,3,4
模型Ⅱ符号说明：
X1:项目A;
X2:项目B；
X3:项目C;
X4:项目D;
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8: 项目A追加一定比例的资金后可以完成的时间/周数。
b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8: 项目B追加一定比例的资金后可以完成的时间/周数。
c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8: 项目C追加一定比例的资金后可以完成的时间/周数。
d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8: 项目D追加一定比例的资金后可以完成的时间/周数。
max=78-(x1+x2+x3+x4):目标函数，即追加一定的资金后能提前完成任务的总时间的最大量。
5、模型建立（决策变量的分析确定、模型的目标分析、模型的约束分析）
模型Ⅰ
（1）将问题按项目分为四个阶段，k=1，2，3，4；将资金分为8个组
:给第k个项目分配时拥有的资金组数， =7；
：分配给第k个项目的资金组数， = + , = - , = ;
先从第四阶段开始计算。
K=4时：
显然将 =0，1，2，3，4，5，6，7八个以五千元为一组的资金分配给第四个项目，即项目D，第四阶段的指标函数值就是第四阶段的的阶段指标：
（ ）=max{ }=max{ }
计算过程以及结果如下表：
第四阶段（分配给D项目）的计算过程表
0 1 2 3 4 5 6 7
0 25 25 0
1 21 21 1
2 18 18 2
3 16 16 3
4 14 14 4
5 12 12 5
6 11 11 6
7 10 10 7
K=3时：
显然将 =0，1，2，3，4，5，6，7七个以5千元为一组的资金分配给第三个项目，即项目C，第3阶段的指标函数值就是第3阶段的的阶段指标与第4阶段最优指标函数之和：
（ ）=max{ }
计算过程以及结果如下表：
第三阶段（分配给C项目）的计算过程表
0 1 2 3 4 5 6 7
0 18+25 43 0
1 18+21 15+25 39 0
2 18+18 15+21 12+25 36 1、2
3 18+16 15+18 12+21 10+25 33 1、2
4 18+14 15+16 12+18 10+21 9+25 30 2
5 18+12 15+14 12+16 10+18 9+21 8+25 28 2、3
6 18+11 15+12 12+14 10+16 9+18 8+21 7+25 26 2、3
7 18+10 15+11 12+12 10+14 9+16 8+18 7+21 6+25 24 2、3
K=2时：
显然将 =0，1，2，3，4，5，6，7七个以5千元为一组的资金分配给第二个项目，即项目B，第2阶段的指标函数值就是第2阶段的的阶段指标与第3阶段最优指标函数之和：
（ ）=max{ }
计算过程以及结果如下表：
第二阶段（分配给B项目）的计算过程表
0 1 2 3 4 5 6 7
0 20+43 63 0
1 20+39 16+43 59 0、1
2 20+36 16+39 13+43 55 1
3 20+33 16+36 13+39 11+43 52 1、2
4 20+30 16+33 13+36 11+39 9+43 49 1、2
5 20+28 16+30 13+33 11+36 9+39 8+43 46 1、2
6 20+26 16+28 13+30 11+33 9+36 8+39 7+43 43 2
7 20+24 16+26 13+28 11+30 9+33 8+36 7+39 7+43 41 2、3
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