3  MATLAB在一类极值问题中的应用

3.1 MATLAB在一元函数极值中的应用

定义 设函数在 在点 的某邻域 内有定义，如果对于去心邻域 内的任一 ，有 （或 ),

那么称是 函数 的一个极大值（或极小值）.源'自:751-'论/文'网"www.751com.cn

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极大值和极小值概念是局部的，如果是 函数 的一个极大值，那只是就 附近的一个局部范围来说， 是 的一个最大值；如果就 的整个定义域来说， 不见得是最大值.关于极小值也是类似的.

有关极值的充分必要条件有如下定理 .

定理1（必要条件）设函数 在 处可导，且在 处取得极值，那么 .

定理2 (第一充分条件)设函数 在 处连续，且在 的某去心邻域 内可导.

(1)若 时， ,而  时， ，则 在 处取得极大值；

(2) 若 时， ,而 时， ，则 在 处取得极小值；

(3) 若 时， 的符号保持不变，则 在 处没有极值.

定理3 (第二充分条件)设函数 在 处具有二阶导数且 ， ，那么

(1)当 时，函数 在 处取得极大值；

(2)当 时，函数 在 处取得极大值.

例1 求函数 在区间 内的极小值与极大值.

分析 先求一阶导数    ，

令    ，  求出所有的驻点  ，

二阶导数     ，

当 时， , 即函数在 处取得极大值为 ；

当 时， ，即函数在 处取得极小值为 .

用MATLAB程序： 

syms x   %定义自变量%