定义1.5    做成一个整环，这个环成为Guass整环．  
定义1.6   设 是一个环，任取 ，则 中包含元素 的理想总是存在的，因为比如 本身就是一个，易知， 中包含 的全部理想的交也是 的一个理想，且是 的包含元素 的最小理想．这个理想记为
  ，
并称其为 的由 生成的主理想．
定义1.7   设 为环 的 个子集，令
 ={ ︱ }，
并称其为子集
在环 中任取 个元素 则由定理知                                                                             
是环 的理想．这个理想简记为
并称其为由元素 生成的理想．它显然是环 中包含元素 的最小理想．
引理1.1   设 , ，则存在 ．使 ，且 ．
引理1.2   设 ，且  ，则 ．  
引理1.3    时，整环 对于 作成欧式环，其中 ．
 是正整数,环 上的全体 阶矩阵, 全体 阶上三角形矩阵对于矩阵的普通加法和乘法作成环 , .
引理1.4   设 是一个环， 是环 的理想，则 是 的理想．
引理1.5   设 是一个环， 是 的理想，令 环的理想的探讨+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_10008.html