摘要：随着科学技术的发展和社会进步，常微分方程的理论和应用不断扩大和深入，其作用也越来越被人们所重视.无论在数学研究还是在自然科学以及其他应用科学，常微分方程都显现出其重要的理论和应用价值.本文着重介绍了直接展开法在二阶微分方程中的应用，通过所求的近似解及精确解的对比，来说明这类方法对于求解微分方程的解有着较大的精确性.全文分为三章，第一章叙述了常微分方程的发展及历史背景，阐述了本文所研究的目的及内容；第二章着重介绍了二阶微分方程的求解方法——直接展开法，并且对于此类微分方程的解的存在性作了一个讨论；第三章主要阐述了直接展开法在二阶微分方程中的应用，以不同的例子更直观的展现此类方法的优点.20519
毕业论文关键词：直接展开法；二阶微分方程；近似解；精确解
Direct Expansion Method In The Application Of A Class Of Second-order Nonlinear Differential Equation
Abstract: With the development of science and technology and the progress of society, the theory and application of ordinary differential equation are expanding and deepening constantly. Its role is paid more and more attention by people. No matter in mathematics or science, and other applied sciences, ordinary differential equations are showing its important theory and the value of its application. This paper focuses on the introduction of direct expansion method in the application of the second order differential equation. By the contrast of the approximation solution and exact solution to illustrate this kind of method for solving differential equation solution with greater accuracy. Full text is pided into three chapters, the first chapter describes the development of ordinary differential equations and its historical background. And the purpose of research and content. The second chapter focuses on the solving method of the second order differential equation , the direct expansion method. And make a discussion for the existence of the solution of differential equation. The third chapter mainly elaborates the direct expansion method in the application of the second order differential equation, and showing the advantage of this method by different examples.
Keywords: Direct Expansion Method; Second Order Differential Equation;
          Approximation Solution; Exact Solution
目 录
1 绪论    1
1.1 常微分方程的发展及历史背景    1
1.2 课题的目的及意义    2
1.3 课题的研究内容    2
2 二阶非线性微分方程的求解方法    3
2.1 直接展开法的介绍    3
2.2 二阶微分方程解的存在性    6
3 直接展开法在二阶微分方程中的应用    8
3.1 实例解析    8
3.2小结    14
参考文献    15
致谢    17
1 绪论
1.1    常微分方程的发展及历史背景
     常微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的母体，生产生活实践是它生命的源泉.300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴涵着丰富的数学思想方法[1].
17世纪末期, 摆的运动, 弹性理论及天体力学等实际问题的研究引出了一系列的常微分方程. 1690年, Bernoulli James在研究与钟摆运动有关的“等时曲线问题”时通过分析建立了常微分方程模型, 并用分离变量法解出了曲线方程[2]. 1691年, Leibniz G提出了求解变量可分离方程 的“变量分离法”， 并首次应用后来被称为Briot-Bouquet变换的y=ux解决了齐次方程 的求解问题. 之后，Bernoulli John, Bernoulli James, Leibniz G进一步改进了分离变量法和变量代换法[3-4]. 直接展开法在一类二阶非线性微分方程中的应用:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_12328.html