证明：设 。若 ,则 是 零矩阵，可以验证 零矩阵满足四个Penrose方程。若 ，由定理2.1可知存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 ，使得
 ，
其中 ，而 是 的非零奇异值。记
 ，
则易验证 满足四个penrose方程，故 的Moore–Penrose逆存在。
    再证明唯一性。设 也满足四个Penrose方程，则
 
            
因此 ，从而 的Moore-penrose逆是惟一的。
    此时
 
若 是非奇异矩阵，容易验证 满足4个 方程。根据定理2.2得
 。
定理2.3[10]设 ，且 的满秩分解为
     ，
则
 。
证明：由定理2.3可知，
 ，
从而 与 都是 阶可逆矩阵，记
 
容易验证 满足四个Penrose方程，故 。
引理2.2 对于任意 矩阵A的秩为 ,则有列满秩矩阵 和行满秩矩阵 ，使得 。
定理2.4[11]设 ， ，由引理2.2可知存在 阶的可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ，使

则 阶矩阵 使得 的充分必要条件是 矩阵广义逆的表示+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_13781.html