等等，在矩阵运算中是不成立的。因此我们在运用矩阵进行计算时，首先需要考虑到这些特殊情况。因此近年来，国内外越来越多的学者和专家开始针对矩阵可交换的条件和性质进行研究。在这些的研究成果中，主要的证明结论集中在对一些方阵乘积可交换的充分条件，只有较少部分的研究给出了方阵乘积的充要条件。在国内，也有许多学者对这个问题提出了自己的观点，并初步得到了一些较好的有关这个问题的证明方法，同时探究出了一些关于可交换矩阵的良好性质以及一些简单的求法。在以Johnson等为代表的学者通过利用符号模式矩阵的概念，来对矩阵可交换性进行研究，Johnson等科研人员利用符号模式矩阵的组合性质对矩阵的可交换性进行了深入的研究，揭示了不可约矩阵和正模式矩阵的可交换性。对于Johnson如此突出的贡献，为我们探究矩阵的可交换性指明了一条道路，也对我们探究可交换矩阵的良好性质具有极为重要的参考价值。
目前，对于可交换矩阵的研究主要集中于对其性质的研究和讨论，对其成立条件和推广性研究的较少，尤其是对一些特殊矩阵的可交换性研究更为浅显。我们希望在对特殊矩阵可交换矩阵性质进行深入研究的同时，能够得到任意矩阵可交换性的条件和约束。
符号模式矩阵又简称为符号模式，是现代矩阵理论的一个重要分支。符号模式矩阵与其他矩阵不同点在于，其中的元素来自于集合{+，-，0}或{1，-1,0}，例如矩阵A=(■(0&-1&2@-2&1&3@2&0&1))，用符号模式矩阵表示即为P=(■(0&-&+@-&+&+@+&0&+))。将一般矩阵化为符号模式矩阵，就是将矩阵中所给出的每个元素分别用对应到集合{+，-，0}或{1，-1,0}上，然后用相应的元素来代替形成新的矩阵。对于给定的实矩阵A=（a_ij），化作符号模式矩阵就表示为（sign（a_ij）。）我们利用符号模式矩阵对矩阵可交换性进行研究，可以简化大型矩阵的计算步骤。
然而在本文中，我们并不采用构建符号模式矩阵这样的方法，我们希望能够通过在n为向量空间的子空间中构建其投影矩阵，然后利用Baksalary的论文中给出的M_(n×n)方阵中的两个正交投子可交换的条件，来推导出投影矩阵满足可交换的条件。
本文希望能够在刻画可交换投影矩阵的同时，对任意两个矩阵可交换的约束条件也能进行深入的研究，总结得到一些有关可交换矩阵的条件和性质。
1.3 论文的结构框架及主要分析内容
在本文的绪论中，我们首先讨论了对可交换投影矩阵刻画的重要性和必要性，并对其大发展前景进行论述。在文献综述部分，我们将收集到的参考文献进行整理和归类，对需要的相关知识进行归纳和分类，找到自己的研究方向和研究方法，并对课题的后续研究打下基础。在文章的第三部分，我们将需要到的基础知识进行概述我们先着手对可交换矩阵成立的条件进行了解和研究，熟悉可交换矩阵的各类性质。在第四部分中，我们就将在所掌握的知识的基础上，开始对可交换投影矩阵满足的条件进行推导和检验，得出在何种情况在，我们能够得到投影矩阵可交换的条件。在文章的第五部分，我们就将得到的结果，推广到更加一般的情况上去，首先讨论投影矩阵和一般矩阵可交换的条件，再将正交投影矩阵的条件放宽，考虑幂等矩阵与一般矩阵可交换的条件。文章的最后一部分，是将我们计算推导的结果进行归纳和总结。
1.4 符号说明
H          复Hilbert空间
B(H)       复Hilbert空间上的全体有界线性算子 可交换矩阵的刻画+文献综述(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_14164.html