(1) 有单位元;
(2) 中每一个非零元都可逆,则称 是一个除环.一个交换除环称为域.
定义 (循环环)如果群 可以由一个元素 生成,即 ,则称 为由 生成的一个循环群,并称 为 的一个生成元.于是是一切形如 的元素生成的群,亦即
一个环 关于其加法作成一个加群,用 表示,若加群 是一个循环群,则称环是一个循环环,若 则循环环可以表示成
若 在加群 中的阶为 ,则可表示为
定义 (模 剩余类环)任意取定一个正整数 ,令 为由 个剩余类
, , , ,
作成的集合.下面规定剩余类的加法与乘法,使 作成一个环.
任取 , ,规定: + = , = .下面证明这是 的两个代数运算.
设 = , = ,则 , .从而 ,即有
= .这就是说,剩余类的加法与每类中代表元素的选取无关,故加法是 的一个代数运算.此加法显然满足结合律与交换律;又 是零元, 是 的负元.因此, 对加法作成一个群.同法可证,剩余类乘法 = 也是一个代数运算.又易知乘法满足结合律和交换律,且乘法对加法满足分配律,故 作成一个环,是 阶有单位元的交换环,称为模 剩余类环.
定义 若有一个环 到环 的映射 满足
( , ),
则称 为环 到环 的一个同态映射.
定义1.19设 是一个环, S ,若S关于 的加法、乘法作成环,则称S是 的一个子环, 是S的扩环,记作S .
类似地,可以定义整环的子整环,除环的子除环,域的子域等概念.
若 .且 {0}, ,则称S是R的非平凡子环.
若 ,且 ,则称 是 的真子环,记作 .
定理 中非零元 如果与 互素,则为可逆元;如果不与 互素,则为零因子.
定理 如果 是素数,则环 是一个域;如果 是合数,则环 有零因子 ,从而不是域.
定理 设 是两个正整数,则
定理 除去零乘环外,在同构的意义下,循环环有且只有整数环以及剩余类环及其子环. 几类特殊的环的性质及其应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_24368.html