定义1.5   设 是 的正规子群，任取二陪集 与 ，则根据群中子集的乘法
 
即 .我们称这个为陪集的乘法.
定义1.6    群 可表示成子群 的一些互不相交的左陪集之并. 因此， 群的子群 的全体左陪集的集合组成群 的一个分类. 即
 ，
其中， 取遍 的不同陪集的代表元素. 特别，如果 为有限群， 则
 
其中， 为 的不同左陪集的个数.
    定义1.7    若群 中每个元素的阶都有限，则称群 为周期群.
2. 陪集的性质
性质2.1    设 是一个群， 是 的子群， ，则
证明  因为 是 的子群， ，故  
 
                                                   （证毕）
性质2.2    设 是一个群， 是 的子群，
 .
证明   设 ，则由性质1知 ，故 .
反之，设 .因为 是子群，故 ；
又任取 .由于 ，故 ，且
 .
 (证毕）
性质2.3   设 是一个群， 是 的子群，
 
证明  设 .令 ，则由性质（2）有 .
反之，设 .则因 ，故 .               
（证毕）
性质2.4   设 是一个群， 是 的子群，
 ，即 与 同在一个左陪集中  （或 ）.
证明  由设 则
 ， .
于是由性质2.2知， .
反之，若 ，则依上倒推回去即得 .      
(证毕）
    应注意，把性质3和性质4结合起来，就得到：
 ，即 与 同在一个左陪集中    （或 ）.
性质2.5   设 是一个群， 是 的子群，若 ，则 .
证明  设 ，则 ， .于是根据性质3可知
                                        
（证毕）
   这个性质表明，对于任意两个左陪集来说，两者要么是相等的，两者要么没有公共元素（即其交为空集）.
    性质2.6   的每一个元素只属于一个右陪集.
证明   存在 ，因为 是一个子群，单位元 ，所以 ，就是说元素 属于右陪集 .
    设 ，那么
     
由此得， ，而 的任意元素
 
所以 ，同理可得， 所以 ，即 只能属于一个右陪集.
（证毕）
    性质2.7  设 是一个群， ， 则对于任意  ，   恰由 中的每个元素的逆元组成. 即有
 .
证明  设 ， 任取 ， 其中 ， 因为
 ， 且 ，
所以 ， 故 ，因此 .又任取 ， 其中  ， 则   ， 所以
 ，
因此 ， 所以
 .
(证毕）
 性质2.8  设 为群， .若则下列各条件等价：
    （1） .
    （2）任意的 ，存在 ，使得 (任意两个左（右）陪集之积还是左（右）陪集）.
证明   ：任意的 ，有
 
    ：因为 ，有
 ，
即 ，有
即 ，得 ，或 ，于是
 
    由 的任意性，故（1）成立. 陪集的性质与应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_37255.html