定义6  如果R是集合A上的二元关系,若有 成立,则称R具有欧几里得性.
为了给出本文的主要结论,即等价关系的另外两种定义,下面给出上述各种性质的联系.
    定理1  如果R具有自反性那么R具有持续性.
证明:由 R具有自反性的定义得,对任意的 ,均有xRx,这就有对任意的  ,在 A中都存在 y=x使得xRy,故 R具有持续性.
于是便得下面的定理 2.
    定理2  如果R具有持续性、对称性和传递性那么R具有自反性.
证明:由 R具有持续性的定义得,对任意的 ,在 A中都存在 y使得xRy,由对称性得yRx成立,再由xRx传递性得成立,即对任意的 ,均有成立xRx,故 R具有自反性.
定理3  如果R具有对称性和传递性那么R具有欧几里得性.
证明:假设R是集合 A上的二元关系,如果xRy并且 xRz,由R具有对称性的定义得,有 yRx成立,再由 R具有传递性的定义得 yRz成立.即有 成立,故 R具有欧几里得性.
     定理4  如果R具有自反性和欧几里得性那么R具有对称性和传递性.
证明:设 R是集合 A上的二元关系,若 yRx成立,由 R具有自反性的定义得 xRx成立, 再由R具有欧几里得yRx性的定义得yRx成立,即有 成立,故 R具有对称性.设 R是集合 A上的二元关系,R具有自反性和欧几里得性,若有 xRy且 yRz成立,则由上面的对称性的证明得 yRx且 yRz成立,再由R具有欧几里得性的定义xRz成立,即有 成立,故 R具有传递性.
1.2　等价关系的等价定义[3]
　　离散数学和近世代数的教材中对等价关系一般都定义如定义1所述,本文还将给出等价关系的另外两种定义 ,即定义2和定义3.
    定义1  集合 A上的一个二元关系 R如果满足自反性、对称性和传递性,那么称二元关系 R为 A上的等价关系.
    定义2  集合 A上的一个二元关系 R如果满足持续性、对称性和传递性,那么称二元关系 R为 A上的等价关系. 集合上的等价关系研究(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_37262.html